Научная статья Числа Фибоначчи


ФИБОНАЧЧИ САНДАРЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
Бұл мақалада Фибоначчи сандарының 15 түрлі қасиеттері және олардың әр түрлі тапсырмаларда қолданылуы қарастырылған. un, un2, un3үшін n=1, 2, 3, … , 50 болғандағы Фибоначчи сандарының кестесі келтірілген.
В статье рассматриваются 15 свойств чисел Фибоначчи, их применение при решении различных задач. Дается таблица чисел Фибоначчи для un, un2, un3при n=1, 2, 3, … , 50.
In this statue considered 15 properties of numbers Fibonachchi and their application at the decision of different tasks. The table of numbers Fibonachchi is given for un, un2, un3under n=1, 2, 3, … , 50.
1202 жылы атақты италян математигі Леонард Фибоначчи (Пизанский) (1180 – 1240) «Абақ туралы кітабы» жарық көрді(Абақ – есеп тақтасы.). Бұл кітап арифметика және алгебра бойынша негізгі мағлұматтарды қамтиды, яғни кейіннен Фибоначчи сандары аталып кеткен сандық тізбектердің қасиеттері қамтылған.
1225 жылы Пиза қаласында Рим императорының қатысуымен математикалық турнирлер өткен болатын. Сол сайыста Фибоначчи жеңіске жеткен. Ал, Фибоначчи сандары әртүрлі математикалық ситуацияларда пайда болды: сандық, геометриялық, комбинаторикалық ситуацияларда, ойындар теориясында және т.б. Комбинаториканың және бүтін сандарға байланысты проблемалардың мәнісінің өсуі, әсіресе 1945 – 1948 жылдары Фибоначчи сандарының қолданылуы тез өсті. Кейбір маңызды математикалық зерттеулерде формальді түрде мүлдем байланыспайтын Фибоначчи сандарының күтпеген жерден пайда болуы атақты роль атқарды. Бірінші кезекте атақты неміс математигі ДавидГилберттің (1862-1943) оныншы проблемасын жас совет математигі Юрий Матиясевич шешті. Сонымен қатар, қазіргі заманғы оптимизациялық қолданбалы математикада американ математигі Ричард Беллманның жұмыстарында Фибоначчи сандарының қолданылуын атап өтуге болады. ХХ ғасырдың аяғында Фибоначчи сандары, олардың қолданылулары өзінің тарихы, әдісі бар қызықты математикалық теория болып табылды және үлкен математикамен тығыз байланысты.
Фибоначчи сандарының шығу тарихы бір жылда бір жұптан қанша жұп үй қояны туады есебімен байланысты. Өзінің «Абақ туралы кітабында» мынадай есепті қарастырды (үй қояндарының көбеюі туралы.):
Бір жұп үй қояны бар. Егер бір айдан кейін үй қояндарының осы жұбы үй қояндарының басқа жұбын туған болса, бір жылда үй қояндарының қанша жұбы дүниеге келетінін білу талап етіледі. Үй қояндарының өзі туғаннан кейін екі айдан кейін туа бастайтыны белгілі.
Шешуі: үй қояндарының бір жұбы бір айда ұрпақ бере бастайтыны белгілі. Сондықтан бұл айда үй қояндарының екі жұбы бар болады. Схема түрінде көрсететін болсақ:
0 – А – 1 жұп;
1 – А –>А(1) – 2 жұп;
2 – А –>А(2), А(1) – 3 жұп;
3 – А –>А(3), А(2), А(1) –>А(1.1) – 5 жұп;
..... т.с.с.
Осы әдіспен есептесек, онда бір жылда 377 жұп үй қояндары болады екен.
Осы есепті пайдалана отырып Фибоначчи сандарының қатарын аламыз.
u1,u2,u3,…,un1(1) түріндегі тізбек Фибоначчи қатары деп аталады. Бұл қатарға
u1=1, u2=1 2шарт қойылады да,
un=un-1+un-2, n>2 (3)Фибоначчи сандарының n - ші мүшесін табудың рекуреентті формуласы ұсынылады, яғни un-2,un-1,un , демек un алдыңғы екі мүшенің қосындысына тең болады. (3) формуладан мынадай қорытындыға келеміз:
un-1=un-un-2 (4)un-2=un-un-1. (5)Енді Фибоначчи сандарының негізгі қасиеттеріне тоқталып өтелік:
1°. u1+u2+…+un=un+2-1Дәлелденуі: (5) формуланы пайдаланып келесі формулаларды алып:
u1=u3-u2u2=u4-u3u3=u5-u4…un=un+2-un+1,тізбектей қоссақ:
u1+u2+…+un=un+2-1түріндегі қосындыны аламыз. Қасиет толығымен дәлелденді.
2°. u1+u3+…+u2n-1=u2nДәлелденуі: (4) формуланы пайдаланып келесі формулаларды алып:
u1=u2u3=u4-u2u5=u6-u4…u2n-1=u2n-u2n-2,тізбектей қоссақ:
u1+u2+…+u2n-1=u2nтүріндегі қосындыны аламыз. Қасиет толығымен дәлелденді.
3°. u2+u4+…+u2n=u2n+1-1Дәлелденуі: (4) формуланы пайдаланып келесі формулаларды алып:
u2=u3-u1u4=u5-u3u6=u7-u5…u2n=u2n+1-u2n-1,тізбектей қоссақ:
u1+u2+…+u2n=u2n+1-1түріндегі қосындыны аламыз. Қасиет толығымен дәлелденді.
Төмендегі қасиеттердіде осылай дәлелдеуге болады:
4°. u1-u2+u3-u4…+-1n+1un=-1n+1un-1+15°. u12+u22+…+un2=un∙un+1.
6°. ∀m,n ∈N, n>1:um+n=un-1∙um+un∙um+1Салдар1: u1,u2,u3,…,un – Фибоначчи сандары үшін: u2n⋮un.
7°. u2n=un+12-un-12.Салдар2: u2n-1=un+12+un2Салдар3: u3n=un+13+un3-un-138°. un2=un-1∙un+1+-1n+19°. u1∙u2+u2∙u3+…+u2n-1∙u2n=u2n210°. u1∙u2+u2∙u3+…+u2n∙u2n+1=u2n+12-111°. nu1+n-1∙u2+…+2un-1+un=un+4-n+312°. u1+2u2+…+nun=nun+2-un+3+213°. u13+u23+…+un3=110u3n+2+-1n+1∙6∙un-1+514°. un3=15u3n+-1n+1∙3∙un15°. u3n=5∙un3--1n+1∙3∙unОсы қасиеттерді пайдаланып есептердің шешімдерін қарастырайық.
1-есеп.
u35 - ті есептеу керек болсын.
Шешуі: Ол үшін салдар 2 – ні қолданамыз. Яғни, бұл кезде біздің n - іміз n=18 екенін анықтаймыз. Әрі қарай формулаға қойып, қажет санымызды есептейміз.
u35=u2∙18-1=u172+u182=2'550'409+6'677'056=9'227'465Жауабы:
Енді 6° қасиетті пайдаланып, осыны екінші тәсілмен есептейміз:
u35=u20+15=u19∙u15+u20∙u16=4181∙610+6765∙987=2'550'410+6'677'055=9'227'465.
Енді осы әдіспен 7° - қасиетті пайдаланып, n жұп болған жағдайды қарастырамыз.
2-есеп.
u26 - ті есептеу керек болсын.
Шешуі: Ол үшін 7° - қасиетті қолданамыз. Яғни, бұл кезде біздің n - іміз n=13 екенін анықтаймыз. Әрі қарай формулаға қойып, қажет санымызды есептейміз.
u26=u2∙13=u142-u122=142'129-20'736=121'393Жауабы:
Енді 6° қасиетті пайдаланып, осыны екінші тәсілмен есептейміз:
u26=u20+6=u19∙u6+u20∙u7=4181∙8+6765∙13=33'448+87'9455=121'393.
3-есеп.
u192-ды есептеу керек болсын.
Шешуі: 8° - қасиетті пайдаланып есептейміз.
Жауабы:
u192=u18∙u20+1=2584∙6765+1=17'480'7614-есеп.
u152-ды есептеу керек болсын.
Шешуі: 14° - қасиетті пайдаланып есептейміз.
Жауабы:
u153=15u45+3∙u15=151'134'903'170+3∙610=15∙1134905000=226'981'000Бұл мысалдардағы un Фибоначчи қатарының мүшесін анықтау (1) – (5) формулалар және 1°-15° қасиеттер арқылы табуға болады. Фибоначчи сандарының кестесін төмендегіше құрамыз.
1 – кесте. Фибоначчи сандарының кестесі.
n un un2 un3
1 1 1 1
2 1 1 1
3 2 4 8
4 3 9 27
5 5 25 125
6 8 64 512
7 13 169 2197
8 21 441 9261
9 34 1156 39304
10 55 3025 166375
11 89 7921 704969
12 144 20736 2985984
13 233 54289 12649337
14 377 142129 53582633
15 610 372100 226981000
16 987 974169 961504803
17 1597 2550409 4073003173
18 2584 6677056 17253512704
19 4181 17480761 73087061741
20 6765 45765225 309601747125
21 10946 119814916 1311494070536
22 17711 313679521 5555577996431
23 28657 821233649 23533806109393
24 46368 2149991424 99690802348032
25 75025 5628750625 422297015640625
26 121393 14736260449 1788878864685457
27 196418 38580030724 7577812474746632
28 317811 101003831721 32100128763082731
29 514229 264431464441 135978327528030989
30 832040 692290561600 576013438873664000
31 1346269 1812440220361 2440032083025183109
32 2178309 4745030099481 10336141770970357629
33 3524578 12422650078084 43784599166913148552
34 5702887 32522920134769 185474538438612378103
35 9227465 85146110326225 785682752921379769625
36 14930352 222915410843904 3328205550124103774208
37 24157817 583600122205489 14098504953417839657513
38 39088169 1527884955772561 59722225363795389930809
39 63245986 4000054745112196 252987406408599516645256
40 102334155 10472279279564025 1071671850998193266773875
41 165580141 27416783093579881 4539674810401372890743221
42 267914296 71778070001175616 19230371092603684333006336
43 433494437 187917426909946969 81461159180816111026511453
44 701408733 491974210728665289 345075007815868127138568837
45 1134903170 1288005205276048900 1461761190444288621685013000
46 1836311903 3372041405099481409 6192119769593022610473911327
47 2971215073 8828119010022395329 26230240268816379069089594017
48 4807526976 23112315624967704576 111113080844858538877918642176
49 7778742049 60508827864880718401 470682563648250534595186743649
50 12586269025 158414167969674450625 1993843335437860677235329390625
Осы кестенің көмегімен бірнеше күрделі есептерді шығару барысында уақыт үнемдейміз. Кестені пайдаланып есептейтін күрделі есептерге мысалдар келтірейік.
5-есеп. Есептеңіз:
u3+u6+…+u36-u1u2+u2u3+…+u36u37+u1+u2+…+u41Шешуі: Бұл өрнекті есептеу үшін, жоғарыда келтірілген қасиеттерді пайдалана отырып және де, Фибоначчи қатарынан қажет санымызды кестеден ала отырып, оңай, әрі тез шығарамыз. Ол үшін алдымен амалдарға бөліп, соңында шыққан нәтижелерді қосамыз.
u3+u6+…+u36=12u38-1=1238'088'169-1=19'544'084u1u2+u2u3+…+u36u37=u372-1=583'600'122'205'489-1=583'600'122'205'488u1+u2+…+u41=u42=267'914'29619'544'084-583'600'122'205'488+267'914'296=-583'599'834'747'108Жауабы: -583'599'834'747'1086-есеп. Есептеңіз.
u12+u22+…u302-u373+u3+u6+u45Шешуі:
u12+u22+…u302=u30∙u31=832'040∙1'346'269=1'120'149'658'760u373=14'098'504'953'417'839'657'513u3+u6+u45=12u47-1=122'971'215'073-1=1'485'607'5361'120'149'658'760-14'098'504'953'417'839'657'513+1'485'607'536=-14'098'504'952'296'204'391'317Жауабы: -14'098'504'952'296'204'391'317ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Көбесов А. Математика тарихы.- Алматы, 1993.
Жәутіков О. Математиканың даму тарихы. – Алматы, 1967.
Воробьев Н.Н. Числа Фибоноччи. – Москва, 1984.
Матьюмес А.Ю. Фирзя Гугл и число Фибоначчи. Квант журналы., 1970 жыл, №7.
Қаңлыбаев Қ. Математикадан класстан тыс жұмыстар. – Алматы, 1983.

Приложенные файлы


Добавить комментарий