В помощь ученику Некоторые приемы быстрого счета

Некоторые секреты быстрого счёта
В какой бы области человеческая жизнь не стремилась к необходимому совершенствованию, неизменно то, что всюду в основании верных выводов должны лежать «счёт и мера», то есть число в той или иной форме.
Понятно, что в основании сознательной жизни человека лежит счет и мера. Ясно, что если вы хотите правильно судить об окружающем вас пространстве; знать, что такое время, то прежде всего вы должны усвоить счет и меру, а следовательно, научиться свободно обращаться с числом. Истинное развитие знания и сознательности может идти только рядом с развитием вашего понимания о счете, мере, порядке и числе.
Вот почему не стоит пренебрегать малейшим случаем, чтобы поупражняться в счете, мере, порядке и числе. Нельзя отделять арифметику, или математику вообще, от жизни. Нельзя этого делать, потому что человечество только тогда вступило на путь истинного знания, когда во все свои рассуждения ввело понятие о счете, мере и порядке, то есть понятие о числе. Необходимо учиться считать, мерить и вносить порядок в свою жизнь, начиная с первых ваших шагов. Все остальное человечеству дается легко. А учиться счету, порядку и мере удобно как в игре или забаве, так и в деле. Стоит только этого захотеть и к этому постоянно направлять свой ум, разбираясь во всяком окружающем нас явлении. Поэтому в своей работе я попыталась показать некоторые приемы и методы быстрого устного счета, основным условием выбора которых является простота, оригинальность и доступность для современных школьников.

Вычислить: а) 13 · 64 ; б) 24 · 17
а) произведение 13 · 64 не изменится, если первый множитель умножишь на 2, а второй разделишь на 2, т. е. 13 · 64 = 26 · 32 = 52 · 16 и так далее, пока не получим 832 · 1 = 832
б) 24 · 17 = 12 · 34 = 6 ·68 = 3 ·136 = 408
Лучше так: 24 · 17 = 24 · 16 + 24;
24 ·16 = 48 · 8 = 96 · 4 = 192 · 2 = 384 · 1 = 384, тогда 24 ·17 = 384 + 24 = 408
Вычислить устно ( с записью в строчку )
1) 34 · 48 + 18 · 2 + 23 · 24 = 34 · 2 · 24 + 9 · 2 · 12 + 23 · 24 =
68 ·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Умножение на 5 (50)
Чтобы умножить число на 5 ( 50 ), надо разделить его на 2 и умножить на 10 ( 100 ).
Примеры:
446 · 5 = 446 : 2 · 10 = 2230
638 · 5 = 638 : 2 · 10 = 3190
4672 · 50 = 4672 : 2 · 100 = 233600
832 · 50 = 832 : 2 · 100 = 41600
Умножение на 25 (250)
Чтобы умножить число на 25 ( 250 ), надо умножить его на 100 ( 1000 ) и разделить на 4.
88 · 25 = 8800 : 4 = 2200
248 · 25 = 24800 : 4 = 6200
1256 · 25 =125600 : 4 = 31400
24 · 280 = 24000 : 4 =6000
484 · 280 = 484000 : 4 = 121000
6404 · 250 = 6404000 : 4 = 1601000
Умножение на 9
254 · ( 10 – 1 ) = 254 · 10 – 254 · 1 = 2540 – 254 = 2286
38 478 · ( 10 – 1 ) = 38478 · 10 – 38478 · 1 = 384780 – 38478 = 346302
Таким образом, для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число.
Например: 254 · 9 = 2540 – 254 = 2286
38478 · 9 = 384780 – 38478 = 346302
Деление на 4, 8, 16
Чтобы разделить число на 4,8,16, удобнее несколько раз повторить деление на 2.
148 : 4 = 148 : 2 : 2 = 74 : 2 = 37
320 : 16 = 320 : 4 : 4 = 80 : 4 = 20
816 : 16 = 816 : 2 : 2 : 2 : 2
Деление на 5 ( 50 ), 25 ( 250 )
Эти приемы основываются на том, что:
а : 5 = а · 2 ;
10
а : 50 = а · 2 ;
100
а : 25 = а · 4 ;
100
а : 250 = а · 4 .
1000
Таким образом, чтобы разделить данное число на 5 (50) его надо умножить на 2 и разделить на 10 (100), а для того чтобы на 25 (250), его надо умножить на 4 и разделить на 100 (1000).
235
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Деление на 5, 50, 25
Чтобы быстро разделить число на 5, 50, 25; надо заметить: 50 = 5 · 10
25 = 5 · 5 = 50 : 2
675 : 25 = 675 : 5 : 5
1050 : 50 = 1050 : 10 : 5 = 105 : 5 = 21.
II. 5 – 9 классы
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5
15 · 15 = 225 ( 1 умножаем на 2 и приписываем 25 )
75 · 75 = 5625 ( 7 умножаем на 8 и приписываем 25 )
9005 · 9005 = 81090025 ( 900 умножаем на 901 и приписываем 25 ).


Возведение в квадрат трехзначных чисел, оканчивающихся на 25
Для получения квадрата трехзначного числа ( например, 325 ):
пишем в конце 625;
число сотен ( 3 ) умножаем на 5, у полученного числа ( 15 ) последнюю цифру ( 5 ) пишем впереди числа 625, а первую цифру ( 1 ) запоминаем;
число сотен данного числа ( 3 ) возводим в квадрат ( 3 · 3 = 9 ) и прибавляем ту цифру, которую только что заполнили ( 9 + 1 ), а полученный результат ( 10 ) пишем впереди написанных нами чисел: 105625.
125 · 125 = (625; 1 · 5 = 5; 0; 5625; 1 · 1 = 1; 1 + 0) = 15625
725 · 725 = (625; 7 · 5 = 35 ; 3; 5625; 7 · 7 = 49; 49 + 3 = 52) 525625
525 · 525 = (625; 5 · 5 = 25; 2; 5625; 5 · 5 = 25; 25 + 2 =27) 275625
625 · 625 = (625; 6 · 5 = 30; 3; 0625; 6 · 6 = 36; 36 + 3 = 39) 390625
225 · 225 = (625; 2 · 5 = 10; 1; 0625; 2 · 2 = 4 ; 4 + 1 = 5) 50625
Возведение в квадрат чисел 5 и 6 десятков
Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41, 42, . 49) надо к числу единице прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат – однозначное число, то перед ним приписывается 0.
43 І = (15+3) · 100 + 7І= 1849
46І= (15+6) · 100 + 4І = 2116
48І= (15+8) · 100 + 2І = 2304
49І= (15+9) · 100 + 1І =2401
Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка ( 51, 52, 59). Для этого надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
54І= ( 25+4 ) · 100 + 4І = 2916
57І= ( 25+7 ) · 100 + 7І = 3249
59І= ( 25+9 ) · 100 + 9І = 3481
Умножение на 99, на 999
Умножение на 99, на 999 осуществляется тем же способом, что и на 9.
В этих случаях приписывают два, три нуля и вычитают множимое число.
324 · 99 = 32400 – 324 = 32076
546 · 999 = 546000 – 546 = 545454
Умножение на 111
1294 · 111 = 143 634
Чтобы найти это произведение, поступают так ( согласно приведенной записи ); слева от последней цифры множимого записывают последнюю цифру суммы его единиц и десятков ( 9 + 4, т. е. 3 ), затем последовательно приписывают суммы цифр, взятых по три: ( 2 + 9 + 4 ) + 1 ( от 13 ) = 16, т. е. 6; ( 1 + 2 + 9 ) + 1 ( от 16 ) = 13, т.е. 3; затем – сумму последних двух цифр ( 1 + 2 ) + 1 ( от 13 ) = 4; первую цифру множимого ( 1 ) приписывают слева к полученному результату.
241 · 111 = 26 751
52628 · 111 = 5 841 708
175 654 · 111 = 19 497 594
Мгновенное умножение
Можно облегчить вычислительную деятельность, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям.
988 · 988 = ( 988 + 12 ) ( 988 – 12 ) + 12І = 1000 · 976 + 144 = 976 144
aІ = аІ - bІ + bІ = ( а – b ) ( а + b ) + bІ
Можно с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок:
27І = ( 27 – 3 ) ( 27 + 3 ) + 3І = 24 · 30 + 9 = 729
63І = ( 63 – 3 ) ( 63 + 3 ) + 3І = 60 · 66 + 9 = 3969
48І = ( 48 – 2 ) ( 48 + 2 ) + 2І = 46 · 50 + 4 = 2304.
Умножение на 50, 25 , 125.
17 · 50 = 17 · 100 : 2 50 = 100: 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Быстрота и правильность
44 · 25 = 4 · 11 · 25 = 1100
33 · 5 = 11 · 3 · 5 = 15 · 11 = 165
45 · 4 = 45 · 2 · 2 = 180
25 · 8 = 25 · 4 · 2 = 200
Интересный способ умножения
1) 13 · 64 = 13 · 2 · 64 : 2 = 26 · 32 = 52 · 16 = 104 8 = 208 · 4 = 416 · 2 = 832
Прием умножения
2) 15 · 15 = 225 (1 · 2 и приписываем 25)
25 · 25 = 625 (2 · 3 -/-)
35 · 35 = 1225 (3 · 4 -/-)
45 · 45 = 2025 (4 · 5 -/-)
395 · 395 = 156025 695 · 695 = 483025
39 · 40 = 1560 69 · 70 = 4830

Умножение на 155 и 175
А · 155 = А · 100 + А · 50 + А · 5 = А · 100 + А : 2 · 100 + А : 4 · 100
А · 175 = А · 100 + А · 50 + А · 25 = А · 100 + А : 2 · 100 + А : 4 · 100
348 · 155 = 34800 + 348 : 2 · 100 + 348 : 2 · 10 = 34800 + 17400 + 1740 = 53940
84 · 175 = 8400 + 84 : 2 · 100 + 84 : 4 · 100 = 8400 + 4200 + 2100 = 14700.
Умножение двухзначных чисел, близких к 100
Пример 1. Вычислить 95 · 89 .
Решение: чтобы получить две последние цифры ответа ( единицы и десятки ), необходимо: 100 – 95 = 5; 100 – 89 = 11
И результаты перемножить: 5 · 11 = 55
Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо: 95 – 11 = 84
В результате имеем: 95 · 89 = 8455
Пример 2: Вычислить 93 · 87
Решение: 1) 100 – 93 = 7 2) 100 – 87 = 13
3) 7 · 13 = 91 – последние две цифры;
4) 93 – 13 = 80 – первые две цифры;
Таким образом, 93 · 87 = 8091.
Пример 3: Вычислить 98 · 87
Решение: 1) 100 – 98 = 2 2) 100 – 87 = 13
3) 2 · 13 = 26 – последние две цифры;
4) 98 – 13 = 85 – первые две цифры;
Таким образом, 98 · 87 = 8526.
Пример 4. вычислить 82 · 94
100 – 82 = 18 2) 100 – 94 = 6
18 · 6 = 108; 08 – последние две цифры;
82 – 6 = 76; 76 + 1 =77 – первые две цифры. Таким образом, 82 · 94 = 7708.
Признак делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, стоящих на четных местах, делятся на 11.

9 876 543 210 : 11, т.к. 97531 – 86420 = 11 111
15 - 20 = 5
Поменяем 8 и 5: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
9 5 7 6 8 4 3 2 1 0
0 + 2 + 4 + 6 + 5 1 + 3 + 8 + 7 + 9
17 28
28 – 17 = 11
Если сумме цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
Округление часто используется при устных вычислениях
Сначала выполняется округление до круглых чисел, действие производится над круглыми числами, а затем вносится поправка.
362 + 197 = 360 + 2 + 200 – 3 = 560 – 1 = 559
373 + 48; 558 – 82; 485 + 98
Секрет виртуозного извлечения корней
Секретом такого «искусства» овладеть нетрудно. Надо лишь знать таблицу степеней всех однозначных чисел и связь, существующую между последней цифрой основания степени и последней цифрой результата возведения в степень.
а) Для извлечения кубического корня: 13 EMBED Equation.3 1415
Кубы чисел от 1 до 10
13 = 1 63 = 216
23 = 8 73 = 343
33 = 27 83 = 512
43 = 64 93 = 729
53 = 125 103 = 1000
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Так как последняя цифра подкоренного числа 6, то и последняя цифра искомого числа 6. Отбрасывая последние три цифры заданного числа, получим 636; это число располагается в таблице кубов между кубами чисел 12 и 13. Меньшее из этих чисел (12) даёт первые две цифры искомого результата. Итак, 13 EMBED Equation.3 1415= 86.
13 EMBED Equation.3 1415= 73, 13 EMBED Equation.3 1415= 99.
Подмечаем свойство: все цифры, на которые могут оканчиваться кубы чисел, различны.
Последняя цифра куба числа совпадает с числом, возведённым в куб, для оснований степени 1, 4, 5, 6. 9 и равна разности числа 10 и числа, возведённого в куб, для остальных оснований: 2, 3. 7. 8.
б) Для извлечения корня пятой степени: 13 EMBED Equation.3 1415
Пятые степени чисел от 1 до 10
15 = 1 65 = 7776
25 = 32 75 = 16807
35 = 243 85 = 32768
45 = 1024 95 = 59049
55 = 3125 105 = 100000
Подмечаем свойство: последняя цифра пятой степени числа совпадает с основанием степени.
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Последняя цифра результата 5. Отбрасываем последние пять цифр, остаётся число 97, которое располагается между пятыми степенями чисел 2 и 3. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 = 25.
13 EMBED Equation.3 1415 = 19, 13 EMBED Equation.3 1415 = 50, 13 EMBED Equation.3 1415 = 108
III. Факультативные занятия
Интересные свойства чисел
Рассмотрим ряд примеров умножения на 9 с любопытными результатами.
Присмотритесь к отдельным столбцам чисел и цифр.
1 · 9 =09 90 = 9 · 10
2 · 9 = 18 81 = 9 · 9
3 · 9 = 27 72 = 9 · 8
4 · 9 = 36 63 = 9 · 7
5 · 9 = 45 54 = 9 · 6
6 · 9 = 54 45 = 9 · 5
7 · 9 = 63 36 = 9 · 4
8 · 9 = 72 27 = 9 · 3
9 · 9 = 81 18 = 9 · 2
9 · 10 = 90 09 = 9 · 1
Еще любопытные закономерности
9І = 81
99І = 9801
999І = 998001
9999І = 99980 001
99999І = 9999 800 001
9 · 7 = 63
99 · 77 = 7623
999 · 777 = 776223
9999 ·7777 = 77762223 99999 · 77777 = 7777622223
Удивительные примеры.
12 345 679 · 9 = 1 111 111 111
12 345 679 · 18 = 2 222 222 222
12 345 679 · 27 = 3 333 333 333
12 345 679 · 36 = 4 444 444 444
12 345 679 · 45 = 5 555 555 555
12 345 679 · 54 = 6 666 666 666
12 345 679 · 63 = 7 777 777 777
12 345 679 · 72 = 8 888 888 888
12 345 679 · 81 = 9 999 999 999
Занимательное умножение.
2) а) 11 · 11 = 121
111 · 111 = 12321
1111 · 1111 = 1234321
11111 · 11111 = 123454321
111111 · 111111 = 12345654321
1111111 · 1111111 = 123567654321
11111111 · 11111111 = 12356787654321
111111111 · 111111111 = 12345678987654321
б) 1 · 9 + 2 = 11
12 · 9 + 3 = 111
123 · 9 + 4 = 1111
1234 · 9 + 5 = 11111
12345 · 9 + 6 = 111111
123456 · 9 + 7 = 1111111
1234567 · 9 + 8 = 11111111
12345678 · 9 + 9 = 111111111
в) 9 · 9 + 7 = 88
98 · 9 + 6 = 888
987 · 9 + 5 = 8888
9876 · 9 + 4 = 88888
98765 · 9 + 3 = 888888
987654 · 9 + 2 = 8888888
9876543 · 9 + 1 = 88888888
98765432 · 9 + 0 = 888888888
Любопытное свойство натуральных чисел:
13 + 23 + 23 + 43 = ( 1 + 2 + 2 + 4)2 = 81
13 + 23 + 23 + 33 + 43 + 63 = (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)2 = 324


Материал данной статьи предусматривает цель показать результативность использования различных видов и приёмов быстрого устного счёта для повышения познавательного интереса к изучению математики, что положительно повлияет на прохождение итоговой аттестации. Устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений. Приёмы быстрого счёта могут быть использованы на практике, как учениками, так и преподавателями школ.





Зеркальное отражение
подчеркнутых
чисел




Root Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий