Реферат Решение квадратных уравнений различными способами.


Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 1
г. Могоча
Научно-исследовательская работа
Тема:Решение квадратных уравнений различными способами.
Предмет: алгебра
Выполнила: Ученица 8 Б класса
Кибалина Дарья
Научный руководитель:
Пешкова Оксана Ильинична
г. Могоча
2017
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Аннотация PAGEREF _Toc473461456 \h 3I.Введение PAGEREF _Toc473461457 \h 4II. Определение квадратного уравнения, его виды. PAGEREF _Toc473461458 \h 5III. Из истории квадратных уравнений. PAGEREF _Toc473461459 \h 61) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне PAGEREF _Toc473461460 \h 62) Квадратные уравнения в Индии. PAGEREF _Toc473461461 \h 63) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. PAGEREF _Toc473461462 \h 7IV. Различные способы решения квадратных уравнений. PAGEREF _Toc473461463 \h 81) Разложение левой части уравнения на множители PAGEREF _Toc473461464 \h 82) Метод выделения полного квадрата PAGEREF _Toc473461465 \h 83) Решение квадратных уравнений по формуле PAGEREF _Toc473461466 \h 94) Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной) PAGEREF _Toc473461467 \h 105)Решение уравнений способом «переброски» PAGEREF _Toc473461468 \h 116) Свойства коэффициентов квадратного уравнения. PAGEREF _Toc473461469 \h 127) Графическое решение квадратного уравнения PAGEREF _Toc473461470 \h 148) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. PAGEREF _Toc473461472 \h 169)Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. PAGEREF _Toc473461473 \h 2010)Геометрический способ решения квадратных уравнений. PAGEREF _Toc473461475 \h 23Приложение 1. PAGEREF _Toc473461476 \h 25Приложение 2 PAGEREF _Toc473461477 \h 27V Заключение: PAGEREF _Toc473461478 \h 28VI.Литература: PAGEREF _Toc473461479 \h 29
АннотацияОбъектисследования: квадратные уравнения.
Предметисследования: способы решения квадратных уравнений.
Цель:Изучить теоретические основы квадратных уравнений и способов их решении; рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.
Задачи:
1) Произвести анализ учебно–методической литературы по решению квадратных уравнений.
2) Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений
3)Изучить историю развития квадратных уравнений.
4) Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.
Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами
Обоснование: Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса математики. Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нам из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.
Методы исследования:
Теоретические методы: изучение литературы по теме исследования
Интернет информации
Анализ информации, полученной при изучении литературы; анализ результатов, получены при решении квадратных уравнений различными способами.
Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.


I.ВведениеУравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.
Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.
В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.
Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно их решать устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться на экзамене ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.
Квадратное уравнение-это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.
С помощью формул корней квадратных уравнений можно решить любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.
Таким образом возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность темы выполненной работы.

II. Определение квадратного уравнения, его виды.Определение:Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2+bx+c=0,
гдех-переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,а≠0.
Если в квадратном уравнении ах2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов bили с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1)ах2 +с=0, где с ≠ 0;
2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах2 = 0.
Квадратные уравнения это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

III. Из истории квадратных уравнений.1) Квадратные уравнения в Древнем ВавилонеНеобходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
х2+ х = , х2 – х = 14
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

2) Квадратные уравнения в Индии.Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с, а> 0
В уравнении коэффициенты, кромеа, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

3) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

IV. Различные способы решения квадратных уравнений.В школьном курсе математике изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно разберем каждые из них.
1) Разложение левой части уравнения на множители.
Примеры.
1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
2) Метод выделения полного квадратаПоясним этот метод на примере.
Пример
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х – 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х – 7= х2 + 2· х ·3 + 32 – 32– 7= (х + 3)2 – 9– 7= (х + 3)2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х=3=4,х1=1, или х +3= - 4 , х2 = – 7.
3) Решение квадратных уравнений по формулеВывод формулы:
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,на 4а и следовательно имеем:
4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.
((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,
(2ах + b)2 = b2 – 4ас,
2ах + b = ±
2ах = – b ±
Х1,2 =
Примеры
Решим уравнения:
а) 4х2+ 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1,D>два разных корня;
х = , х = ; х = , х1 = , х = , х2 = –1
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) 4х2 – 4х + 1 = 0,
а =4, b= - 4, с = 1. D= b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D= 0, один корень;
х=
Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b2 – 4ас= 0, тоуравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =
в) 2х2 +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13,
D< 0. Уравнение не имеет корней.
Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b2 – 4ас< 0, то уравнение
ах2+ bх + с = 0 не имеет корней.
4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета(прямой и обратной)а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2+ px + q = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приа = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p иqможно предсказать знаки корней).
а) Если свободный член qприведенного уравнения (1) положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
Например,
х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2>0 и p = – 3 <0;
х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.
б) Если свободный член qприведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например,
х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;
х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.
б) Теорема Виета для квадратного уравнения
ах2+вх+с = 0
имеет вид

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения
х2 +рх + q = 0.
Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
Примеры
1. Решить уравнение: х2 – 9х + 14 =0
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = 9
х1х2 = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
2. Решить уравнение: х2 +3х – 28 = 0
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = - 3
х1х2 = - 28
Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.
5)Решение уравнений способом «переброски»Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2 х2 + а bх + ас = 0.
Пусть ах= у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению
у2+ by + ас = 0,
равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1= и х1 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Примеры
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2– 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета
Ответ: 2,5;3.
6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения.А. Пусть дано квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
1.Если а+b+с=0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),то х1 =1, х2= .Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
х2+ х + =0.
Согласно теореме Виета

По условиюа + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

Получаем х1=1, х2=, что и требовалось доказать.
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1= – 1, х2 = – .
Доказательство. По теореме Виета

По условию а –b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
т.е. х1= – 1 и х2 = , что и требовалось доказать.
Примеры
1. Решим уравнение 345х2 –137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1=1, х2= = .
Ответ: 1; –.
2. Решим уравнение 132х2+ 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= -
Ответ: - 1; -
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
х1,2 =
можно записать в виде
х1,2 =
Пример
Решим уравнение 3х2 –14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;
D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1,D>0, два различных корня;
х =
Ответ: 2; .
В. Приведенное уравнение
x2 + px + q = 0
совпадает с уравнением общего вида, в которома = 1, pи c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
х1,2 =
принимает вид:
х1,2 = или х1,2 = - (3).
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.
Примеры
1. Решим уравнение х2–14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 = 7±= 7±= 7±8.
Ответ: х1= 15, х2 = – 1 .
7)Графическое решение квадратного уравненияЕсли в уравнении x2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x2 = –px–q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = –px–q . (рис.1)
График первой зависимости – парабола,проходящая через начало координат.График второй зависимости – прямая.Возможны следующие случаи:прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссыточек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратноеуравнение не имеет корней.
у
у=х2
у = - рх - q
х1 х2 х
рис.1
Пример
1.Решим графически уравнение
х2–3х – 4 = 0.
Решение.Запишем уравнениев виде
х2= 3х + 4
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
Прямуюу = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) иN (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точкахАи B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4.
у
у=х2 у = - 3х + 4
- 1 4 х
рис.2Ответ:х1= – 1 , х2 = 4 .
8)Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаем следующий способнахождения корней квадратного
уравненияах2 + bх + с = 0с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в
точках B(х1;0) и D (х2;0) ( рис.3 ), гдех1 и х2 – корни уравнения
ах2 + bх + с = 0, и проходит через точкиА (0;1) и С (0;) на
оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда
ОС = .
у
С(0; )
S()
А(0; 1)
К
В(х1, 0) D(х2, 0)х
рис.3
Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров
SF иSK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
SK=,
SF = .
Итак:
построим точки S(; ) (центр окружности) иА (0;1);
проведем окружность с радиусом SA;
абсциссы точек пересечения этой окружности с осьюОх являются корнями квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность
пересекает ось Ох в двух точках (рис.4а) B(х1;0) и D (х2;0), где
х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.4б) в точке B(х1;0 ), где
х1 – корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS<SВ, или R<), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.4в), в этом случае уравнение не имеет решения.

У уу
S
SS
А
1. А 1. х. А 1 х
В
х1 В х2 х1 В
а) б) в)
рис. 4
а) AS>SВ, или R>. б) AS = SВ, или R = .
Два решения х1 и х2. Одно решение х1.
в) AS<SВ, или R<.
Нет решения.
Примеры
1.Решим графически уравнение
х2–2х – 3 = 0.
Решение. Определим координатыточки центра окружности поформулам:
х = –
у = =
Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1). (рис.5)

у
1 А
- 1 3 х
S(1; - 1)
рис.5
Ответ: х1= – 1 , х2 = 3 .
2. Решим уравнение
х2–5х + 4 = 0.
Решение. Определим координатыточки центра окружности поформулам:
х = –
у
у= =
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).(рис.6)
Ответ: х1= 1 , х2 = 4 .
S(2,5; 2,5)
1 А
1 4 х
рис.6
3. Решим уравнение:
х2+4х + 4 = 0.
Решение. Определим координатыточки центра окружности поформулам:
х = –
у = =
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).(рис.7)
у
S( - 2; 2,5)
А
- 2 х
рис.7
Ответ: х= – 2 .
4. Решим уравнение
х2– 2х + 3 = 0.
Решение. Определим координатыточки центра окружности поформулам:
х = –
у = =
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).(рис.8)
у
S(1; 2)
А
х
рис.8
Ответ: уравнение не имеет решения.
9)Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммыпостроена по формулам:
ОВ = ,АВ =
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а( рис.9), из подобия треугольников САН и СDFполучим пропорцию,откуда после подстановок и упрощенийвытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной
pq
О В Е
FD
HA
C
рис.9
Примеры
1. Для уравнения: z2 –9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 10).

рис.10
2. Решим с помощью номограммы
номограммы уравнение: 2z2 –9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этогоуравнения на 2,получим уравнениеz2–4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 =0,5. (рис.10)
3. Для уравнения:z2 + 5 z – 6 =0 номограмма даетположительныйкорень z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из –р, т.е.
z2 = – р –1 =–5 –1 = –6,0 (рис.11.)

рис.11
4. Для уравнения:z2 – z – 8 = 0 номограмма даетположительныйкорень z1 = 4,0, отрицательныйравенz2= –р –z1 = 2–4 = –2,0. (рис.11)
5. Для уравнения:z2 + 4 z + 3 = 0,оба корня которогоотрицательные числа (рис.12), беремz1 = –t и находим по номограмме два положительных корня t1 и t2уравнения t2–4t+ 3 = 0, этоt1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = –t1 = –1и z2 = –t2 = – 3. если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, товыполняют подстановкуz = kt и решают с помощью номограммыуравнение: t2 +
где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства :
– 12,6≤.

рис.126. Для уравнения: z2 – 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы (рис.12), выполним подстановку
z = 5t,
получим уравнение t 2– 5t+ 2,64 = 0,которое решаем посредством номограммы и получим
t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5 t1 = 5 • 0,6 = 3,0и z2 = 5t2 = 5 • 4,4 = 22,0.
10)Геометрический способ решения квадратных уравнений.В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.
Примеры
Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х (рис.13), на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,следовательно, площадь каждого равна 2. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыреравных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6
D x C
6 2 6
2 x2 2
6 2 6
A х B
рис.13
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4∙2 = 10х) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.S = х2 + 10х = 25.Заменяя х2 + 10х числом 39, получим чтоS = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
х = 8 – 2 – 2 = 3
2. А вот, например, как древние греки решали уравнение
у2 + 6у – 16 = 0.
Решение представлено на рис.14, где
у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение .Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.
уу3

у2

3у 9
3
рис.14
3. Решить геометрически уравнения у2 – 6у – 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем:у2– 6у = 16.
На рис.15находим «изображения» выражения у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной удва раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.
Значит, если к выражению у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ± или у – 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = – 2.
у у 3

у – 3
у – 3
3
3 9
рис.15
Приложение 1.1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:
1) х2 – х = 0; 6) х2 – 4х + 4 = 0;
2) х2 + 2х = 0; 7) х2 + 6х + 9 = 0;
3) 3 х2 – 3х = 0; 8) х2 + 4х +3 = 0;
4) х2 – 81 = 0; 9) х2 + 2х – 3 = 0.
5) 4 х2 – = 0;
2. Решите уравнения по формуле:
1) 2х2 – 5х + 2= 0 4) 4х2 – 12х +9 = 0
2) 6х2 + 5х + 1=05)10х2 – 6х + 0,9 = 0
3) 3х2 – 7х – 1 = 0 6) 2х2 – 3х + 2 = 0
3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:
1) х2 – 2х – 15 = 0 7) х2 – 2х + 1 = 0
2) х2 + 2х – 8 = 0 8) х2 + 4х + 4 = 0
3) х2 + 10х + 9 = 0 9) х2 – 6х + 9 = 0
4) х2 – 12х + 35 = 0 10) 4х2 + 7х – 2 = 0
5)3 х2 +1 4х + 16 = 0 11) 5х2 – 9х – 2 = 0
6) х2 – 5х + 6 = 0 12) х2 – 11х + 15 = 0
4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:
2х2 – 9х +9 = 0 5) 3х2 + х – 4 = 0
10х2 – 11х + 3 = 0 6) 5х2 – 11х + 6 = 0
3х2 +11х +6 = 0 7) 2х2 + х – 10 = 0
4х2 +12х + 5 = 0 8) 6х2 +5х – 6 = 0
5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:
5х2 – 7х + 2 = 0 5) 839х2 – 448х – 391 = 0
3х2 + 5х – 8 = 0 6) 939х2 + 978х +39 = 0
11х2 + 25х – 36 = 0 7) 313х2 + 326х + 13 = 0
11х2 + 27х +16 = 0 8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0
6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:
4х2 – 36х + 77 = 0 3) 4х2 + 20х + 25 = 0
15х2 – 22х – 37 = 0 4) 9х2 – 12х + 4 = 0
7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:
х2 – 8х – 9 = 0 3) х2 + 18х + 81 = 0
х2 + 6х – 40 = 0 4) х2 - 56х + 64 = 0
8. Решите графически уравнения
1) х2–х – 6 = 0; 4) х2 –2х – 3 = 0;
2) х2–4х + 4 = 0; 5) х2 + 2х – 3 = 0;
3) х2 + 4х +6 = 0; 6) 4х2 –4х – 1 = 0.
9.Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:
1) х2–3х + 2 = 0; 4) 2х2 –7х + 5 = 0;
2) х2–3х – 10 = 0; 5) х2 –6х + 9 = 0;
3) х2+4х + 3 = 0; 6) х2 +4х + 5 = 0.
10. Решите с помощью номограммы уравнения:
1) z2 – 7z + 6 = 0; 4) z2 – z – 6 = 0 ;
2)z2 + 5z + 4 = 0; 5) z2 – 11z + 18 = 0;
3)z2 – 4z + 4 = 0; 6)z2 – 2z + 3 = 0.
Приложение 2В 9 классе я провела опрос: «Какой способ решения квадратных уравнений вы предпочитаете».
По результатам опроса я составила диаграмму:


VЗаключение:В ходе выполнения своей научно-исследовательской работы я считаю, что все поставленные передо мной цели и задачи были выполнены. Янашла 10 способов решений квадратных уравнений. Каждый из них я изучила и прорешала. Следует отметить, что каждый из способов решений не идеален. Один занимает много времени для решения уравнений, другой не всегда точен(например графическое решение).
Также я узнала историю возникновения квадратных уравнений, которая оказалась очень интересной. Из всех ученых стран арабского языка только индийский ученый Брахмагупта (VII в.) вывел правило решения квадратных уравнений, которым мы пользуемся до сих пор. Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет, который не признавал отрицательных чисел. И только после трудов математиков А. Жирара, Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.
Свою работу хотелось бы закончить словамиН. И. Лобачевского: «...Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано».

VI.Литература:Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
Дидактические материалы по алгебре.
М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.

Приложенные файлы


Добавить комментарий