Разработка уроков повторения стереометрии при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе

Аннотация

Приведенное ниже планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2 ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.
Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве

Планирование учебного времени (всего 12 часов)

Расстояние между двумя точками (1 час)
Поэтапно-вычислительный метод;
Координатный метод;
Векторный метод
Расстояние от точки до прямой (1 час)
Поэтапно-вычислительный метод;
Метод параллельных прямых;
Векторный метод;
Координатный метод
Расстояние от точки до плоскости (2 часа)
Поэтапно-вычислительный метод;
Метод параллельных прямых и плоскостей;
Метод объемов;
Координатный метод;
Векторный метод
Расстояние между скрещивающимися прямыми (2 часа)
Поэтапно-вычислительный метод;
Метод параллельных прямой и плоскости;
Метод параллельных плоскостей;
Метод ортогонального проектирования
Угол между двумя прямыми (1 час)
Поэтапно-вычислительный метод;
Векторно-координатный метод;
Векторный метод
Угол между прямой и плоскостью (1 час)
Поэтапно-вычислительный метод;
Векторно-координатный метод;
Векторный метод
Угол между плоскостями (2 часа)
Поэтапно-вычислительный метод;
Метод параллельных прямых;
Метод параллельных плоскостей;
Метод использования перпендикуляров к плоскостям;
Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;
Векторно-координатный метод;
Решение одной задачи различными методами (2 часа)

План-конспект урока
Тема урока: «Угол между двумя прямыми»
Цели урока:
отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми;
формировать умения анализировать, переносить знания в новые ситуации при решении задач;
тренировать пространственное воображение;
воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.
Оборудование:
Оборудование для применения ИКТ (интерактивная доска).
Раздаточный материал в виде готовых чертежей

ХОД УРОКА
I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, раздача готовых чертежей к задачам).
Учитель: Здравствуйте, приветствую вас на уроке по теме «Угол между двумя прямыми». Целью нашего урока является отработка ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми различными методами.
II. Актуализация знаний.
Повторяются: определение скрещивающихся прямых, признаки скрещивающихся прямых, определение расстояния между скрещивающимися прямыми


Определение:

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости



13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Признак скрещивающихся прямых:

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется длина их общего перпендикуляра.





III. Устная работа (задания проецируются на экран)
В каждой из следующих задач нужно изобразить расстояние и угол между указанными скрещивающимися прямыми.
Задача № 1: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани.
Решение:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача № 2: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба.











Решение.
 .

Задача № 3: Изобразите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.
Решение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
IV. Работа по готовым чертежам (задания есть у каждого ученика, а также проецируются на экран)
При нахождении угла между прямыми используют:
Формулу 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 для нахождения угла 13 EMBED Equation.3 1415 между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, если стороны 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415треугольника 13 EMBED Equation.3 1415соответственно параллельны этим прямым;
формулу 13 EMBED Equation.3 1415 или в координатной форме 13 EMBED Equation.3 1415для нахождения угла 13 EMBED Equation.3 1415 между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, если векторы 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415параллельны этим прямым.

Задача № 1(поэтапно-вычислительный метод): В кубе АВСDА1В1С1D1 найти угол между прямыми А1D и D1Е , где Е - середина ребра СС1


Решение.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- середина ребра BB1, a – ребро куба, 13 EMBED Equation.3 1415 - искомый угол. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 - угол при вершине 13 EMBED Equation.3 1415 в треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415.
Из треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415, а из треугольника 13 EMBED Equation.3 1415получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Далее в треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415 используем теорему косинусов 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415

Задача № 2 (векторно-координатный метод): В правильной шестиугольной призме 13 EMBED Equation.3 1415, все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Используя формулу 2), получаем
13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415искомый угол.
Задача № 3 (векторный метод):  В кубе 13 EMBED Equation.3 1415 найти угол между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415середины ребер 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно.




В1





Р
а



С




Решение:
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, откуда находим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

Подставив полученные значения в формулу, получим
13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415искомый угол
V. Домашнее задание:
1) Точка 13 EMBED Equation.3 1415середина ребра 13 EMBED Equation.3 1415куба 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите угол между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
2) В правильной шестиугольной призме 13 EMBED Equation.3 1415, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
VI. Подведение итогов урока, выставление оценок
Проверочная работа
1 вариант
В правильной четырехугольной пирамиде 13 EMBED Equation.3 1415 сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины 13 EMBED Equation.3 1415 до грани 13 EMBED Equation.3 1415.
В кубе 13 EMBED Equation.3 1415 точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- середины ребер 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
В кубе 13 EMBED Equation.3 1415 найдите угол между плоскостями сечений 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415

Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»
При обучении стереометрии учителю следует повышать наглядность преподавания, уделять больше внимания изображению геометрических фигур, формированию конструктивных умений и навыков. Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах, тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Поэтому очень важно при изучении каждого вида многогранников и тел вращения, а также при повторении материала обращать внимание учащихся на использование изученных ранее геометрических фактов для вычисления элементов рассматриваемой фигуры.
Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников. Поэтому необходимо наиболее часто используемые сведения из планиметрии восстанавливать в памяти учащихся при изучении стереометрии
Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.
Приведенное выше планирование уроков повторения поможет учащимся не только закрепить материал, изученный в курсе стереометрии 10-11 классов, но и познакомиться с новыми методами решения задач на нахождение расстояний и углов пространстве. Решение одной задачи разными способами позволит им (если времени будет достаточно) проверить правильность решения той или иной задачи. Уверенное владение различными методами решения задач типа С2 ЕГЭ снимет напряжение и неуверенность учащихся на экзамене.


a

b

A

B



a

b

A

B

B

D

E

C1

C

C1

D



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий