Текстовые задачи на ОГЭ и ЕГЭ


Задачи на движение
Задачи на движение - классический тип текстовых задач. Разнообразные объекты движутся в одном или разных направлениях, в условии перечислен ряд данных, по которым требуется найти некоторую величину, например, скорость, расстояние, время, за которое это расстояние пройдено... Зачастую знания одной формулы S=vt оказывается недостаточно, необходимо провести самостоятельное исследование задачи.
Решение текстовых задач обычно осуществляется в несколько этапов:
введение неизвестной величины;
составление уравнения (или нескольких уравнений) и (при необходимости) неравенств;
решение полученных уравнений (неравенств);
отбор решений по смыслу задачи - то есть проверка ответа.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. В связи с этим целесообразно рассмотреть типовые задачи и их решения.
При решении задач на движение принимают следующие допущения.
Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным.
Скорость считается величиной положительной.
Любой переход с одного режима движения на новый считается происходящим мгновенно.
Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость которой равна у, то скорость движения тела по течению считают равной (х + у), против течения равной (х у). Если в задачах говорится о движении плота, то полагают, что он движется со скоростью течения.
5. Если два тела одновременно начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями v, и v2, а начальное расстояние между ними равно S, то время, через которое они встретятся, равно
6. Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первое тело догонит второе, равно где v1 и v2 - скорости тел, v1 > v2, S-начальное расстояние между телами.
7. Основными параметрами задач на движение являются: а) пройденный путь (S); б) скорость (v); в) время (t).
Зависимость между указанными величинами выражается известными формулами:
(1)
При вычислениях особое внимание следует уделить переводу величин в одну систему единиц. Например, если путь задан в километрах, а время в часах, то скорость должна быть приведена в километрах в час (а не в метрах в час, в километрах в секунду и т.п.).


Задачи на движение по прямой
Начнем с задач, в которых объекты (пешеходы, автомобили, поезда и т. п.) движутся по прямой. Сюда же включим и те задачи, в которых траектория движения значения не имеет, важно лишь направление движения по дороге друг за другом или в разные стороны. К таким задачам относится пример 1.
Пример 1. Из пункта А вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним в том же направлении вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость товарного поезда.
Решение. Пусть скорость товарного поезда х км/ч, тогда скорость пассажирского поезда (х + 30) км/ч.
В условии задачи сказано, что товарный поезд был в пути 18ч, поэтому он проделал путь 18х км. Пассажирский поезд за 15ч прошел 15(х + 30)км.
Так как пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км, то мы получим следующее уравнение
15(х + 30) – 18x = 300.
Решим его:
Зх=150; х=50.
По смыслу задачи скорость должна быть числом положительным. Найденное значение удовлетворяет этому условию.
Ответ: 50 км/ч.
Примечание. Решение задачи может быть оформлено иначе в виде таблицы.


v (км/ч)
t(ч)
S (км)

Товарный поезд
X
18
18x

Пассажирский поезд
х + 30
15
15(х + 30)

Так как пассажирский поезд проехал на 300 км больше товарного, то составим уравнение:
15(x + 30) – 18x = 300. Полученное уравнение имеет решение х = 50.
Ответ: 50 км/ч.
Пример 2. Три тела движутся по прямой линии от точки А к точке В. Второе тело начало двигаться на 5с, а третье на 8 с позже первого. Скорость первого тела меньше скорости второго на 6 м/с. Скорость третьего тела равна 30 см/с. Найдите расстояние АВ и скорость первого тела, если известно, что все три тела достигают точки В в один и тот же момент.
Решение. Пусть расстояние АВ равно 5, скорость второго тела х см/с. Тогда скорость первого тела (х - 6) см/с, а скорость третьего тела 30 см/с.
Следовательно, c – время, затраченное соответственно первым, вторым, третьим телом на прохождение всего расстояния.
Так как первое тело затратило на путь на 5 с больше, чем второе, а третье на 8 с меньше, чем первое, то мы можем составить систему из двух уравнений:
Решим ее:
Разделив первое уравнение на второе, получим
х2-36х + 288 = 0.
Из этого уравнения находим х = 12 или х = 24.
Проверим, удовлетворяют ли полученные значения х условию задачи.
Из условия задачи следует, что 6 < х < 30. Первое неравенство вытекает из того, что скорость второго тела на 6 см/с больше первого, но при значениях х, меньших 6, получим отрицательную скорость, чего быть не может.
В то же время, скорость второго тела должна быть меньше 30 см/с, так как третье тело (со скоростью 30 см/с) начало движение на 3 с позже второго, а достигли они точки В одновременно.
Неравенству 6 < х < 30 удовлетворяют оба значения: х = 12 и х = 24.
Если х = 12, то х - 6 = 6 и S = 60.
Если х = 24, то х - 6 = 18 и S = 360.
Ответ: 1) 6 см/с и 60см; 2) 18 см/с и 360 см.
Примечание. Решение этой задачи можно также оформить в таблице:

V (см/с)
t(с)
S (см)

I тело
Х-6
S
S





х-6


II тело
X
5 х
S

III тело
30
S/30
S

В дальнейшем мы будем записывать все решения именно так в таблице.
Кстати, у читателя может возникнуть вопрос: «Зачем проверять полученные значения на соответствие условию задачи, ведь уравнение мы составляем, исходя из данных условия». На вопрос можно ответить только утвердительно «Да, конечно».
Однако при составлении уравнения (или системы уравнений) мы можем не учесть все данные. И полученные значения переменной могут им не удовлетворять, как это происходит в следующей задаче. Так что проверка в конце решения никогда не бывает лишней!
Пример 3. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние между пунктами А и В.
Решение. Пусть скорость первого пешехода х км/ч, скорость второго пешехода у км/ч, весь путь равен г км. Заполним две таблицы, охарактеризовав движение пешеходов.

По условию задачи в первом и во втором случаях время одно и то же, поэтому:

Разделив первое уравнение на второе, получим
откуда z2 – 52z+ 480 = 0 и z = 40 или z = 12.
Второе значение не удовлетворяет условию, из которого следует, что расстояние между А и В больше 24 км.
Итак, расстояние между пунктами равно 40 км.
Ответ: 40 км.
Пример 4. Два поезда, выйдя одновременно из разных городов, встретились через 20 часов. За какое время каждый из поездов проходит расстояние между этими городами, если одному из них требуется для этого на 9 часов больше, чем другому?
Решение. Пусть скорость первого поезда х км/ч, скорость второго поезда у км/ч, весь путь равен г км. Составим две таблицы.
Первая таблица характеризует движение поездов до места встречи:
Таблица 1

v (км/ч)
t(ч)
5 (км)

I поезд
х
20
20x

II поезд
У
20
20y

По условию задачи 20x + 20y = z.
Будем считать, что скорость первого поезда больше скорости второго (х > у). Заполним вторую таблицу, характеризующую прохождение расстояния между городами каждым поездом:

Составим второе уравнение на основании того, что второму поезду потребуется на 9 часов больше времени, чем первом:
Таким образом, мы получили систему уравнений
О т в е т: 36 ч, 45 ч.
Следующий пример хорошо иллюстрирует важность правильного выбора обозначений величин задачи.
Пример 5. Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной 50м, немедленно повернуть назад и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через 5 секунд - второй, еще через 5 секунд - третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, они оказались на одном расстоянии от места старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в 4 м от конца дорожки, и первого в 7 м от конца дорожки. Найдите скорость третьего пловца.
Решение. На рисунке 1 точкой В обозначено место встречи всех пловцов (в задаче сказано, что в некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, они оказались на одном расстоянии от места старта); в точке В встречаются третий и второй пловцы; в точке С встречаются третий и первый.

50м Рис. 1
Итак, в задаче требуется найти скорость одного из пловцов, поэтому может показаться, что будет удобно в качестве неизвестной рассматривать скорость третьего пловца. Поскольку в задаче нет явного указания на связи между скоростями трех пловцов, то, скорее всего, возникнет желание обозначить их скорости, например, буквами х, у,z., то есть ввести три переменные.
Далее можно перейти к составлению уравнений. Время, за которое третий пловец проплыл 54 м (проплыл 50 м, повернул и проплыл еще 4 м), на 5 с меньше времени, за которое второй проплыл 46 м, поэтому:
Аналогично составим уравнение относительно скоростей третьего и первого пловцов:
И последнее, из того, что в какой-то момент времени (причем до первого касания бортика) пловцы встретились одновременно, можно сделать простой вывод: первый пловец затратил на преодоление некоторого расстояния на 5 с больше второго, а второй - на 5 с больше третьего. Поскольку расстояния мы не знаем, то получаем еще одну переменную (например, S) и два уравнения:

Итак, получили четыре уравнения с четырьмя переменными. Решив их, мы, безусловно, получим ответ, однако не самым легким путем.
Попробуем ввести другие обозначения, а именно: обозначим буквой х расстояние, пройденное каждым пловцом до места их первой встречи, а буквой у время, которое прошло до нее с момента старта первого пловца.
Составим таблицу, по которой будет видно, какие неизвестные величины мы приняли за х и у, какое время плыли пловцы до места первой встречи и какова скорость каждого пловца.
Первая таблица характеризует движение пловцов от старта до места первой встречи.

Заполним вторую таблицу, описывающую движение третьего и второго пловцов от старта до места их второй встречи в точке В.

Составим уравнение на основании того, что второй пловец стартовал на 5 секунд раньше третьего пловца:

Заполним третью таблицу, характеризующую движение третьего и первого пловцов от старта до места их второй встречи в точке С.

Составим уравнение на основании того, что первый пловец стартовал на 10 секунд раньше третьего пловца:
Таким образом, мы получим систему уравнений:
, причем x>0, a y>10.
Решив ее, получим х=22, н=25.
Найдем скорость третьего пловца
Ответ: 17/15 (м/с).
В примере 4 в отличие от предыдущего удобно в качестве переменных рассматривать скорости объектов. Подумайте сами, почему.

Пример 6. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент времени, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 9 км позади них. А в тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обогнал пешехода на 3 км. Найти количество километров, на которые пешеход отстал от велосипедиста в тот момент, когда велосипедиста настиг мотоциклист.

Р е ш е н и е. На рисунке 2 флажками отмечены встречи пешехода и велосипедиста, пешехода и мотоциклиста, мотоциклиста и велосипедиста.
Итак, рассмотрим первую ситуацию: мотоциклист, догнав пешехода, тем самым ликвидировал свое отставание от него на 9 км в начальный момент движения (рис. 2.1 и 2.2). В этом случае время, за которое мотоциклист догнал пешехода, равно
Заполним первую таблицу.

Рассмотрим вторую ситуацию. На рисунке 2.2 между мотоциклистом и велосипедистом 3 км. Тогда время, за которое мотоциклист догонит велосипедиста, равно . За это время и пешеход пройдет некоторое расстояние (табл. 2).

По рисунку 3 видно, что в задаче требуется найти расстояние между пешеходом и велосипедистом через ч, то есть разность (*)
К моменту встречи мотоциклиста и велосипедиста мотоциклист проехал на 9 км больше, чем велосипедист.
Взяв данные из двух таблиц, найдем разность всего пути мотоциклиста и всего пути велосипедиста:
Последовательно имеем:
Используя это соотношение, найдем значение выражения (*)
Ответ: 4,5 км.
Задачи на движение по окружности
Пример 1. Автобус и мотоциклист выезжают одновременно из поселка, расположенного на кольцевой дороге. Время, которое затрачивает мотоциклист на то, чтобы обогнать автобус при движении в одном направлении, в 3 раза больше времени, которое нужно для того, чтобы они встретились при движении в разных направлениях. Найдите скорость автобуса, если скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.
Решение. Пусть х км/ч скорость мотоциклиста, а у км/ч - скорость автобуса. Изобразим на рисунках 4 и 5 разные виды движения.

По условию задачи

Так как по условию задачи скорость мотоциклиста равна 80 км/ч, то скорость автобуса -40 км/ч. Ответ: 40 км/ч.
При решении предыдущей задачи пройденное расстояние можно было обозначить любой буквой, обозначая его как 2
·R, мы просто подчеркнули, что движение идет по кругу.
Пример 8. Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждую минуту. Найдите скорость движения каждой точки.
Решение. При движении точек в разных направлениях (рис. 4) они за 15 с обе проходят длину окружности, то есть 1,2м, так как начинают движение одновременно и встречаются через каждые 15 с.

Таблица 1


V (м/с)
t (с)
S(м)


1
X
15
15х



2
У
15
15у



Составим первое уравнение на основании того, что обе точки за 15 с прошли путь 1,2 м, то есть 15x + \5у= 1,2.
Рис. 7
При движении точек в одном направлении первая точка догоняет вторую через каждую минуту (то есть для определенности будем считать х > у). Это означает, что за 1 минуту первая точка должна пройти полный круг 1,2 м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 минуту вторая точка.

Таблица 2

V (м/с)
t (с)
S(м)

1
Х
60
60х

2
у
60
60у

Составим второе уравнение на основании того, что первая точка за указанное время прошла на 1,2 м больше, чем вторая: 60х=60у+1,2
Таким образом, мы получим систему уравнений
Решив ее, получим х=0,05; у=0,03.
Ответ: х=0,05; у=0,03
Пример 9. По сигналу тренера два бегуна побежали по дорожке кругового стадиона в противоположных направлениях. Первый бегун пробежал к месту их встречи на 500м больше, чем второй. Продолжая бежать по кругу в том же направлении, первый пришел к месту старта через 9 минут после встречи со вторым бегуном, а второй – через 16 минут после встречи. Каков диаметр круговой дорожки стадиона?

Таблица 1

V (м/с)
t (с)
S(м)

1
Х
9


2
у
16
16у

После встречи второй спортсмен пробежал путь, уже проделанный первым бегуном. А этот путь был по условию задачи на 500 м длиннее, то есть 16у-9х=500
Теперь перейдем к ситуации до встречи в точке А.

До встречи первый спортсмен пробегает тот путь, который второй пробежал после встречи и, наоборот, поэтому выразим время через расстояние и скорости.
Таблица 2

Время каждого спортсмена от старта до места встречи одно и то же, поэтому:
Получили систему уравнений
Ее решением являются числа

Длина беговой дорожки равна длине окружности.
откуда
Ответ: л
Пример 10. При вращении двух колес, соединенных ременной передачей, меньшее из них делает в минуту на 400 оборотов больше другого, а время, за которое оно делает один оборот, на 0,2 секунды меньше, чем время оборота другого колеса. Сколько
Решение. Пусть большое колесо делает х об./мин, а маленькое у об./мин. Составим таблицу, характеризующую движение каждого колеса в течение одной минуты:
Таблица 1


v (об. /мин)
t (мин)
S (об.)

Большое колесо
X
1
X

Маленькое колесо
У
1
У

По условию задачи у х = 400.
Составим таблицу, характеризующую поворот каждого колеса на один оборот:
Таблица 2


v (об./мин)
t (мин)
S (об.)

Большое колесо
X
1/x
1

Маленькое колесо
У
1/y
1

По условию задачи малое колесо делает один оборот на 0,2 секунды быстрее, чем большее колесо:
Решив систему уравнений , получим
Ответ: 200 об./мин; 600 об./мин.

Прямолинейное движение не по одной прямой
Пример 11. Два тела движутся по двум сторонам прямого угла. В начальный момент тела отстоят от вершины на 60 и 80 см соответственно. Через 2 секунды после начала движения расстояние между телами стало равно 25 см. Определить скорость каждого тела, если известно, что одно тело движется на 7,5 см/с медленнее другого.
Решение. Прежде чем приступить к решению задачи, определим, в каком направлении движутся тела: от вершины или к ней. Так как 25 см меньше 60 см, 80 см и уж тем более больше см, то понятно, что тела движутся к вершине.
Далее, в задаче не сказано, какое из двух тел движется быстрее, поэтому рассмотрим два случая.
I случай. Пусть первое тело движется медленнее второго тела. Если скорость второго тела х см/с, то скорость первого тела (х 7,5) см/с.

Охарактеризуем движение тел за 2 секунды.
Таблица


V (см/с)
T (c)
S(см)

I тело
х- 7,5
2
2(х - 7,5)

II тело
X
2


В треугольнике ОАВ (рис. 10):
ОА = 60- (2х- 15) =75 - 2х;
0В = 80 - 2х.
Воспользуемся теоремой Пифагора, составим и решим уравнение:
(75 - 2х)2 + (80 - 2х)2 = 625, 2x2 – 155x + 2850 = 0, х = 47,5 или х = 30.
Таким образом, v1 = 40 см/с, v2 = 47,5 см/с или v1 = 22,5 см/с, v2= 30 см/с.
// случай. Пусть первое тело движется быстрее второго тела. Если скорость первого тела у см/с, то скорость второго тела (у 7,5) см/с.
Охарактеризуем движение тел за 2 секунды.
Таблица

v (см/с)
t (с)
S (см)

I тело
У
2


II тело
У -7,5
2
2(у-7,5)

В треугольнике ОАВ (рис.11): ОА=60-2у; ОВ=95-2у

Воспользуемся теоремой Пифагора и составим уравнение:
(60 - 2у)2 + (95 - 2у)2 = 625.
Решив это уравнение, получим у = 40 или у = 37,5. Следовательно, в этом случае
v1 = 40 см/с, v2=32,5 см/с; или v1=37,5 см/с, v2 = 30 см/с.
Ответ:40 см/с; 47,5 см/с;
22,5 см/с; 30 см/с;
40 см/с; 32,5 см/с;
37,5 см/с, 30 см/с.
Следующая задача сложнее, ее длинная формулировка способна напугать многих школьников. Мы специально приводим ее решения для того, чтобы вы увидели, что для составления математической модели не требуется никаких дополнительных знаний, а нужно только внимательно проанализировать условие и грамотно выбрать переменные.
Пример 12. Из двух различных пунктов одновременно в направлении пункта А по прямолинейным дорогам отправляются автомобиль С и велосипедист В, которые движутся с постоянными скоростями. Исходные точки отправления расположены так, что в начальный момент времени точки А, В и С задают прямоугольный треугольник АВС (угол В - прямой).
После того как автомобиль проехал 25 км, автомобиль, велосипедист и пункт А переместились в вершины равностороннего треугольника (треугольник АВС «стал» равносторонним). Найдите расстояние между пунктами отправления если в момент прибытия автомобиля в пункт А велосипедисту осталось проехать еще 12 км.
Решение. Сначала на рисунке 12 изобразим расположение объектов в моменты времени, описанные в условии задачи. Обозначим первоначальное расположение пунктов отправления автомобиля, велосипедиста и пункта А точками, находящимися в вершинах прямоугольного треугольника ЛВС. Точки В1 и С, соответствуют пунктам нахождения велосипедиста и автомобиля, после того как автомобиль проехал 25 км.

Из условия следует, что в прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 30°, а значит, АС = 2АВ (свойство катета, лежащего против угла в 30°).
Пусть скорость автомобиля х км/ч, а велосипедиста у км/ч, расстояние от пункта отправления велосипедиста (В) до пункта А z км. Выбор переменных объясняется тем, что скорости велосипедиста и автомобиля неизменны, а расстояние выбрано в качестве третьей переменной (попробуйте обойтись любыми двумя и убедитесь, что это невозможно) потому что, как показал предыдущий анализ, есть некоторые соотношения между расстояниями (АС = 2АВ, АВ1 = АС1), к тому же в условии приведены сведения о расстояниях между объектами. О времени же никакой информации нет.
Заполним таблицу 1, описывающую первую фазу движения («до равностороннего треугольника»).
Таблица 1


V (КМ/Ч)
t((ч)
S(км)

Автомобиль (С)
X
25/x
25

Велосипедист (В)
У
25/x
25y/x

Так как треугольник АВ 1С{ - равносторонний, то АВ, = АС1,
то есть АВ - ВВ1 = АС - АА{. Составим первое уравнение:
За весь путь до пункта А автомобиль проехал 2z км со скоростью х км/ч, затратив время ч. За это же время велосипедисту удалось проехать (z-12) км.
Составим второе уравнение:
Получим систему уравнений:

Второе уравнение системы преобразуем к виду: 13.x2 - 75ху + 50у2 = 0 и решим его как квадратное относительно х:
D = (-75у)2 - 4 13 50y2 = 3025y2= (55у)г, x=5y или х=10/13 у (второй корень не подходит так как из условия следует, что х > у).
Подставим х = 5у мы и получим
Из треугольника АВС находим:
Ответ: км.
Движение с «дополнительной» скоростью
Если какое-то тело движется по реке, то при движении против течения его скорость уменьшается, а по течению увеличивается. То же самое происходит при движение против ветра или по ветру, и т.п., то есть у тела появляется «дополнительная» скорость, которая в зависимости от направления движения увеличивает или уменьшает скорость движения.
Пример 13. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от пункта А до пункта В пароход проходит в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее катера. Найти скорость парохода и катера в стоячей воде.
Решение. Пусть скорость парохода х км/ч, тогда скорость катера равна (х 8) км/ч.
Обозначив путь от пункта А до пункта В через а км и скорость течения реки у км/ч, заполним первую таблицу, отражающую движение катера и парохода по течению.

Так как по условию задачи время движения парохода по течению в полтора раза меньше, чем время движения катера, получим уравнение
Движение парохода и катера против течения охарактеризуем, заполнив таблицу 2:

По условию задачи время парохода, затраченное на путь против течения, в два раза меньше, чем время катера:
Получим систему уравнений:

Ответ: 20 км/ч; 4 км/ч.
Пример 14. Спускаясь по движущемуся эскалатору, пассажир проходит до его конца 40 ступеней. При движении против хода эскалатора ему приходится преодолевать 120 ступенек. Сколько бы он прошел ступенек, если бы спускался по неподвижному эскалатору?
Решение. Особенностью задачи является нахождение пути пассажира, то есть длины эскалатора, но не в метрах, а в ступеньках.
Пусть:
К ступенек длина эскалатора;
х (ст./мин) собственная скорость пассажира;
у (ст./мин) скорость эскалатора.
Составим таблицу, в которую занесем скорость и время движения пассажира по ходу эскалатора и против хода.

Произведение времени на скорость дает путь. Пассажир по ходу движения проделал путь в 40 ступенек, так как
Аналогично, против хода эскалатора:
Имеем систему уравнений:
Разделив первое уравнение на второе, получим
Подставим в первое уравнение системы:
Ответ: 60 ступеней.
Задачи для самостоятельного решения
1. Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, причем второй стартовал на 6 мин позже первого и догнал первого в 2 км от старта. Если бы, дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно, то он встретил бы первого через 24 минуты после его старта. Найти скорость второго лыжника. Ответ: 20 км/ч.
2. Два велосипедиста стартовали один за другим с интервалом в 2 мин, причем второй велосипедист догнал первого на расстоянии 1 км от старта. Проехав всего 5 км, он повернул обратно и встретил первого в 4 км от старта. Найти скорость второго велосипедиста.
Ответ: 12 км/ч; 20 км/ч.
3. Два пловца на дистанции 100 метров стартовали один за другим с интервалом 1 с в пятидесятиметровом бассейне. Второй спортсмен догнал первого на отметке 21м, затем, доплыв до противоположной стенки бассейна, повернул обратно и встретил первого пловца через с после момента поворота. Найти скорости пловцов.
Ответ: 1,4 м/с; 1,5 м/с.
4. Школьник должен был выйти из дома в 7.30 сесть в ожидавшую его машину и доехать на ней до школы к определенному моменту. Однако он вышел из дома в 7.00 и побежал в противоположном направлении. Машина в 7.30 отправилась вслед за ним и, нагнав его, доставила в школу с опозданием на 10 минут. Во сколько раз скорость машины превосходит скорость бегущего школьника?
Ответ: в 7 раз.
5. Расстояние между городами А и В равно 24 км. Два пешехода выходят одновременно на встречу друг другу из А и В, двигаясь с постоянными скоростями. После встречи первый пешеход доходит до В через 2 часа, а второй доходит до А через 8 часов. Определить скорость первого пешехода.
Ответ: 4 км/ч.
6. Расстояние между А и В равно 156км. Из А в В выезжает велосипедист. Через 2 часа из В ему навстречу отправляется другой велосипедист со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость первого велосипедиста. Встреча произошла на расстоянии 72 км от В. Найти сумму скоростей обеих велосипедистов.
Ответ: 32 км/ч. I
7. Две точки движутся по окружности длиной 27 см с постоянными скоростями. Если они движутся в разных направлениях, то встречаются каждые 9 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую каждые 45 с. Найти скорости точек.
Ответ: 0,018м/с; 0,012 м/с.
8. Из пункта А в пункт В против течения выехала моторная лодка. В пути сломался мотор и пока его 15 минут чинили, лодку снесло вниз по реке. Определить, на сколько позднее приплыла лодка в пункт В, если известно, что путь из пункта А в В лодка проходит в 2,5 раза больше, чем путь из В в А.
Ответ: 7/16 ч
9. Города А и В расположены на берегу реки, причем В расположен ниже по течению. В 9 ч утра из А в В отправляется плот, плывущий! относительно берегов реки со скоростью течения реки. В тот же момент из В в А отправляется лодка, которая встречается с плотом через 5 ча-1 сов. Доплыв до А, лодка мгновенно повернула! обратно и приплыла в город В одновременно с плотом. Успели ли лодка и плот прибыть в город к 9 часам вечера того же дня?
Ответ: нет.
10. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 секунды. Стоя на ступеньке движущегося эскалатора - за 56 секунд. За сколько секунд спустится пассажир, если он идет по неподвижному эскалатору?
Ответ: за 42 с.



При решении задач на движение полезно сразу переводить все данные в одни и те же единицы измерения. Например, если дано, что с начала движения пешехода прошло 2 ч 15 мин, его скорость равна 4 км/ч, выразив время в часах (2 ч 15 мин = 2 ч), сразу получим расстояние:4- 2- = 9 (км).
Пример 1. На путь между двумя деревнями пешеход затратил на 4 ч 30 мин больше, чем мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.
Решение. Во-первых, найдем скорость пешехода. Она равна 1/10*40 = 4 км/ч.
Пусть мотоциклист может проехать расстояние между деревнями за х ч, тогда пешеход может пройти это расстояние за (х + 4,5) ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(х + 4,5) км, мотоциклист проедет 40х км.
Так как по условию задачи эти величины равны, получим уравнение
4(х + 4,5) = 40х, откуда х = 0,5.
Следовательно, расстояние между деревнями равно 0,5 40 = 20 (км).
О т в е т: 20.
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Почтальон проехал на мотоцикле от почты до села со скоростью 30 км/ч. Назад он возвращался пешком со скоростью, составляющей скорости его движения на мотоцикле, поэтому на обратный путь он затратил на 1 ч 12 мин больше, чем от почты до села. Найдите расстояние от почты до села.
Задание 2. Расстояние между деревней и поселком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18 км/ч, а скорость велосипедиста составляет 1/5 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревней и поселком.
Задание 3. Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Сколько километров в час проезжал мотоциклист?
Движение: план и реальность
В следующих задачах запланированные параметры движения (расстояние, время и скорость) сопоставляются с реальными.
Для решения необходимо выразить через переменную расстояние, время и скорость на каждом из запланированных и реальных участков пути с момента отклонения от плана. После этого нужно найти в условии задачи еще не использованный факт и с его помощью составить уравнение.

Пример 2. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2 ч. Но он ехал со скоростью, превышающей намеченную на 3 км/ч, и поэтому на весь путь затратил 1 2/3 ч. Найдите длину пути.
Решение. При решении этой задачи полезно рассматривать как бы два участка пути запланированный и реальный. Они, естественно, равны по длине, но отличаются временем и скоростью их прохождения.
По плану: затраченное время 2 ч, обозначим скорость: х км/ч. Расстояние равно 2х км.
В реальности: скорость (х- + 3) км/ч, время 1 2/3 ч, значит, расстояние равно 5/3(х + 3) км.
Поскольку в реальности пройдено именно то расстояние, которое и было запланировано, получаем уравнение 2х=5/3(х+3), откуда х = 15.
Итак, велосипедист должен был за 2 ч со скоростью 15 км/ч проехать расстояние 2 15 = = 30 (км).
О т в е т: 30.
Пример 3. Автобус прошел пути со скоростью 50 км/ч, а затем задержался на 3 мин. Чтобы прибыть в конечный путь вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/ч. Найдите путь, пройденный автобусом.
Решение. Отклонение от плана началось с момента остановки. Обозначим за х ч время, за которое автобус должен был пройти оставшуюся 1/6 часть пути. Тогда запланированное расстояние равно 50х км.
В реальности 1/20 ч автобус стоял, а оставшуюся часть пути прошел за ( х -1/20) ч, то есть реально пройденный путь равен 60 (х-1/20) км.
По условию задачи запланированное расстояние совпадает с реално пройденным, следовательно, получаем уравнение
60 (х-1/20)=50х, откуда х = 0,3.
Таким образом, 1/6 часть пути равна 50-0,3 = 15 (км), а весь путь равен 15 6 = 90 (км)
Ответ: 90.
Задания для самостоятельной работы
Задание 4. Путь от А до В пешеход проходит за 2 ч. Если он увеличит скорость на 2 км/ч, то уже за 1,8 ч он пройдет на 3 км больше, чем расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В.
Задание 5. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию с намеченной скоростью за 6 ч. Через 5 ч после отправления он был задержан в пути на 12 мин. Поэтому, чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, поезд увеличил скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Задание 6. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был проехать за 4 ч. Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем снизил ее на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт приехал на 20 мин позже, чем предполагал. Найдите первоначальную скорость автомобиля.
Задание 7. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был пройти за 3 ч. Первые 2ч он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт приехал на 12 мин раньше, чем предполагал. Найдите расстояние между этими пунктами.
Совместное движение
Рассмотрим задачи, описывающие движение двух участников. В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно начинают движение и не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок или участки пути, на которых движение происходит действительно совместно. Кроме этого, в задачах имеются, как правило, такие участки пути, на которых передвигается один участник, в то время как другой еще не начал или уже закончил движение.
В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно начинают движение.
В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками движения в единицу времени.

Скорость сближения или удаления равна сумме скоростей участников
при их движении в противоположных направлениях
(навстречу друг другу или друг от друга).
При движении участников в одном направлении
(один убегает, другой его догоняет)
скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.

Пример 4. Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1 ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами равно 420 км?
Решение. Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К этому времени второй поезд прошел 70*5/3=350/3 (км) и расстояние между поездами сократилось до 420350:3=910:3 (км).
Закончилось совместное движение их встречей.
Итак, на расстоянии 910/3 (км) поезда сближались со скоростью 70 + 60 = 130 (км/ч) и потратили на это 910:3:130 = 7/3 (ч).
Тогда поезд из Смоленска шел до встречи 5/3+7/3=4 (ч).
Ответ: 4.
Пример 5. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью 40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, который прибыл в пункт В на ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.
Решение. Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта А. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за ѕ ч (30:40 =3/4 ) это первый участок пути автобуса.
Второй участок пути автобуса начинается в 30 км от А и заканчивается в В.
Пусть второй участок пути автобус прошел за 1 ч. Так как скорость движения равна 40 км/ч, то это расстояние равно 40t км, а в общей сложности от А до В автобус прошел (30 + 40t) км.
Закончилось совместное движение прибытием автобуса в пункт В. За I ч (время прохождения автобусом второго участка) автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60t км, и до пункта В ему осталось пройти 60:12 = 5 (км). Таким образом, расстояние от А до В равно (60t+ 5) км. Составим уравнение: 30 + 40t = 60t + 5, откуда t=5/4/
Тогда расстояние между пунктами А и В равно 30 + 40*5/4= 80 (км).
О т в е т: 80

.Задания для самостоятельной работы

Задание 8. Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выхода из Москвы произойдет встреча, если расстояние между городами равно 872 км?
Задание 9. Из города А в город В выехал грузовик со скоростью 45 км/ч. После того как грузовик проехал 15км, из города А выехал со скоростью 60 км/ч автомобиль, который приехал в город В на ч раньше грузовика. Найдите расстояние между городами.
Задание 10. Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 1 ч 30 мин вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав велосипедиста, он прибыл в город В на 1 ч раньше его. Найдите скорость мотоциклиста, если известно, что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.
Задание 11. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 5 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и легковой автомобиль. Легковой автомобиль все время был впереди велосипедиста, а через 2/3 ч расстояние между ними было 35 км. Найдите скорость велосипедиста, если она в 4 раза меньше скорости легкового автомобиля.
Задание 12. Из двух аэропортов, расстояние между которыми равно 1300км, вылетели одновременно навстречу друг другу два самолета один с поршневым, другой с реактивным двигателем. Через 30 мин им оставалось пролететь до встречи 800 км. Найдите скорость самолета с реактивным двигателем, если она в 3 раза больше скорости самолета с поршневым двигателем.
Задание 13. Два туриста отправились одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 33 км, навстречу друг другу. Через 3 ч 12 мин расстояние между ними сократилось до 1 км (они еще не встретились), а еще через 2 ч 18 мин первому осталось пройти до В втрое большее расстояние, чем второму до А. Найдите скорость второго туриста.
Задачи на закон сложения скоростей
В ряде задач на движение учитываются скорость ветра при движении самолетов, скорость течения при движении по реке. В задачах такого типа рассматриваются две основные скорости собственная скорость самолета, корабля, лодки, создаваемая двигателем или усилием людей при работе на веслах, то есть скорость движения при отсутствии ветра или в стоячей воде, и скорость ветра или течения.
Как правило, если собственная скорость и скорость ветра (или течения)
не даны, то именно их обозначают переменными.
Две другие скорости скорость по ветру или течению и скорость против ветра или течения можно выразить через основные скорости (через их сумму или разность). Далее решаем задачу как любую другую задачу на движение.
Пример 6. Самолет пролетит по направлению ветра за 5,5 ч такое же расстояние, какое в обратном направлении за 6 ч при условии, что ни скорость, ни направление ветра не меняются. Найдите расстояние, которое пролетит самолет туда и обратно, если собственная скорость самолета равна 690 км/ч.
Решение. В данной задаче основные скорости собственная скорость самолета, равная 690 км/ч, и скорость ветра, которая не дана. Обозначим ее за х км/ч.
Тогда при движении по направлению ветра самолет со скоростью (690 + х) км/ч за 5,5 ч пролетит 5,5(690 + х) км, а при движении против направления ветра самолет со скоростью (690 - х) км/ч за 6 ч пролетит 6(690 - х) км.
Учитывая, что по условию задачи самолет туда и обратно пролетает одно и то же расстояние, составим уравнение 5,5 (690 + х) = 6 (690 - х).
Решая уравнение, находим, что скорость ветра равна 30 км/ч. Далее вычислим расстояние: 6 (690 - 30) = 3960 (км).
Туда и обратно самолет пролетит 3960 2 = = 7920 (км).
Ответ: 7920.
Пример 7. Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60км по реке от одной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывет 25 км. Найдите время движения катера вверх по реке.
Решение. В данной задаче основные скорости собственная скорость катера, равная 15 км/ч, и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за х км/ч.
Тогда на путь по течению катер со скоростью (15 + х) км/ч затратит ч, а на путь против течения катер со скоростью (15 х) км/ч затратил ч.
Спасательный круг проплыл 25 км по течению реки за 25/х ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплыл 25 км, составим уравнение:

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 5 и получим
Так как по условию задачи 0 < х < 15, то есть знаменатели всех дробей в уравнении отличны от нуля, умножим обе части уравнения на (15 +х)(15 -х)х и получим уравнение, равносильное данному: (12(15 - х) + 12(15 + х))х = 5(15 + х)(15 - х).
Приведем полученное уравнение к квадратному: х2 + 72х - 225 = 0.
Обратите внимание на рациональность вычислений при решении задач, особенно задач на движение. Это необходимо в связи с присутствием в таких задачах двузначных и трехзначных чисел.
Обратите внимание на рациональность вычислений при решении задач,
особенно задач на движение.
Найдем дискриминант по формуле для четного коэффициента при х, учитывая, что нам нужно представить дискриминант в виде квадрата, а значит, по ходу вычислений будем выносить за скобки общие множители.
D = 362 + 225 = 32(122 + 25) = З2 132 = 392,
Х1 = -36 + 39. X2=-36-39/
Уравнение имеет единственный положительный корень х = 3, отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи. Итак, скорость течения равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке: Ответ: 5.
Задания для самостоятельной работы
Задание 14. Лодка проплывет за Зч по течению такое же расстояние, какое за 4 ч против течения. Найдите расстояние, которое проплывет лодка вниз по течению, если собственная скорость лодки 14 км/ч.
Задание 15. Из пункта А вниз по течению реки движется лодка с собственной скоростью 17 км/ч. Ей навстречу из пункта В движется катер с собственной скоростью 26 км/ч. Лодка до встречи шла 2 ч, катер 1,5 ч. Какое расстояние проплывет за 3 ч плот, если расстояние между пунктами А и В равно 74 км?
Задание 16. Катер, собственная скорость которого равна 21 км/ч, прошел вниз по реке от города А до города В 72 км и вернулся обратно. За это же время пустая канистра, упавшая с борта катера при отходе из города А, проплыла 21 км. Сколько времени понадобится канистре, чтобы доплыть от города А до города В?
Задание 17. Самоходная баржа, собственная скорость которой равна 20 км/ч, прошла по реке от одной пристани до другой 96 км и вернулась обратно. За это же время плот проплывет 40 км. Найдите время движения лодки вверх по реке

Задание 18. Друзья отправились на пикник на лодке, а вечером вернулись обратно. Они проплыли в общей сложности 48 км, затратив на это 2 ч 48 мин. При этом на каждые 3 км против течения им приходилось тратить столько же времени, сколько на 4 км по течению. Найдите собственную скорость лодки.

Совместная работа
Работа, как и равномерное движение, описывается формулой z = ху,
где х производительность труда (аналог скорости движения),
у время работы (время движения),
z объем выполненной работы (пройденный путь).
Пример 8. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
Решение. Пусть завод должен был выпускать х машин в день, тогда заказ составляет 20.x машин.
На самом деле завод выпускал (х + 2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(х + 2) машин.
По условию задачи 20x =18(x + 2), откуда х = 18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ: 360.
Пример 9. Одна труба подает в бассейн 1 м3 воды на 4 мин быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 ч, если она подает за это время на 100 куб. м воды меньше, чем первая?
Решение. Пусть первая труба подает в бассейн 1 м3 воды за х мин, то есть за х/60 ч, тогда вторая труба подает в бассейн 1 м3 воды за (х+4) мин, то есть за ч.
Это означает, что за 1 ч первая труба подает 60/х м3 воды, а вторая труба подает в бассейн м3.
По условию задачи 60/х м3 больше м3 на 100/5 м3. Составим и решим уравнение .
Разделим обе части уравнения на 20 и решим его:

Так как по условию задачи значение х должно быть положительным, то х = 2. Тогда вторая труба подает в бассейн 1 м3 воды за 6 мин, за 1 ч она подает в бассейн 10 м3 воды, а за 5ч 50 м3 воды.
Ответ: 50.
Пример 10. Два переводчика переводили рукопись. Первые 2 ч работал первый переводчик, следующие 6 ч они работали вместе. За это время было переведено 80% рукописи. Сколько часов потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести всю рукопись, если известно, что ему потребуется на эту работу на 4 ч меньше, чем второму?
Решение. Примем объем рукописи за 1. Пусть первому переводчику для перевода всей рукописи нужно х ч, тогда второму переводчику для перевода всей рукописи нужно (х + 4) ч, производительность первого переводчика равна 1/х (1/ч), производительность второго переводчика равна (1/ч).
За первые 2 ч было переведено 2/х рукописи, следующие 6 ч было переведено рукописи. В общей сложности было переведено рукописи, что по условию задачи составляет 80%, или 4/5 рукописи.
Составим и решим уравнение:

По условию задачи значение х должно быть положительным, значит, х= 16. Итак, первому переводчику на перевод рукописи потребовалось бы 16 ч.
Ответ: 16.
Задания для самостоятельной работы
Задание 19. Фермеры должны были закончить сев за 5 дней. Но, узнав о предстоящем ухудшении погоды, они засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров они засеяли?
Задание 20. На обработку одной детали один рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем другой. Сколько деталей обработает первый рабочий за 4 ч, если он обрабатывает за это время на 8 деталей больше, чем второй?
Задание 21. Бригада цветоводов должна была высадить в понедельник на центральных площадях города 7200 цветов. Однако три человека заболели, и каждому из вышедших на работу пришлось высадить на 400 цветов больше нормы, чтобы успеть вовремя. Сколько человек вышло на работу в понедельник?
Задание 22. Первая машинистка напечатала 270 страниц, печатая в день на 2 страницы больше второй машинистки, при этом работала она на 1 день меньше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала вторая машинистка, если всего она напечатала 280 страниц?
Задание 23. Два секретаря должны были сделать по 120 звонков клиентам фирмы к определенному сроку. Один из них выполнил работу на 5 ч раньше второго, так как делал на 2 звонка в час больше второго. Скольким клиентам дозвонились во второй час работы оба секретаря?
Задание 24. Два помощника депутата так разделили между собой работу по редактированию доклада, что закончили каждый свою часть работы одновременно, через 12 ч. Первый помощник, работая один, мог бы отредактировать доклад на 10 ч быстрее второго. Сколько часов потребовалось бы второму помощнику для выполнения этой работы?
Задание 25. Каждый из секретарей должен был подготовить к отправке по 36 одинаковых писем. Первый секретарь приступил к работе на 4 мин позже второго, но 1/3 задания они закончили выполнять одновременно. Полностью выполнив свое задание и, затратив 2 мин на получение указаний руководителя, первый секретарь вновь приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым секретарем отправил еще 2 таких письма. Сколько писем в час отправлял второй секретарь?
Задание 26. Два насоса разной мощности, работая одновременно, наполняли бассейн водой за 4 ч. После реконструкции производительность первого насоса увеличилась на 20%, а второго на 60%. Теперь они, работая одновременно, наполняют бассейн за 3 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первый насос после реконструкции?
Задание 27. Два транспортера в аэропорту, работая одновременно, доставляли багаж пассажирам за 40 мин. После реконструкции скорость доставки груза первым транспортером увеличилась в 2 раза, а вторым в 1,5 раза. Теперь они доставляют багаж за 24 мин, если работают одновременно. Сколько часов занимала доставка багажа первым транспортером до реконструкции, если второй находился в ремонте?
Задание 28. Для наполнения газгольдера сжатым газом имеются три компрессора. Второму компрессору для наполнения газгольдера требуется времени вдвое меньше, чем первому, и на 4 ч меньше, чем третьему. Три компрессора, работая вместе, наполнили бы газгольдер за 2 ч, но по технологическим требованиям одновременно должны работать только два из них. Определите минимальное время (в минутах) наполнения газгольдера.
Задание 29. Для наполнения плавательного бассейна водой имеются три насоса. Первому насосу для наполнения бассейна требуется времени вдвое меньше, чем второму, и на 7ч больше, чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 4 ч, но по условиям эксплуатации одновременно должны работать только два насоса. Определите минимальное время (в минутах) наполнения бассейна.
Задание 30. Для наполнения плавательного бассейна водой имеются три насоса. Первому насосу для наполнения бассейна требуется времени в три раза меньше, чем второму, и на 2 ч больше, чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 3 ч, но по условиям эксплуатации одновременно должны работать только два насоса. Определите минимальную стоимость (в рублях) наполнения бассейна, если 1 ч работы любого из насосов стоит 140 руб.
Дроби и проценты
Процент сотая часть.
Например, 2% равны двум сотым, то есть 0,02; 20% равны 20/100 = 0,2; 25% равны 25/100=1/4= 0,25 и т.д.
Существуют три основных вида задач «на проценты»:
1. Найти число а, составляющее n процентов от числа Ь.
Решение:
2. Обратная задача: найти число Ь, если n процентов от него равно а.
Решение.
Найти, сколько процентов составляет число а от числа Ь. Решение.

Пример 11. В двух сараях сложено сено. В первом сена в три раза больше, чем во втором. После того, как из первого сарая взяли 20 т сена, а во второй добавили 20т, оказалось, что во втором сарае масса сена равна 5/7 массы сена, оставшегося в первом сарае. Сколько тонн сена было первоначально во втором сарае?
Решение. Пусть во втором сарае х т сена, тогда в первом сарае Зх т сена. После всех перемещений сена в первом сарае стало (3х 20) т сена, а во втором (х + 20) т сена.
По условию задачи откуда х = 30.
Итак, во втором сарае было первоначально 30 т сена.
Ответ: 30.
Пример 12. С двух участков ежегодно собиралось 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором на 20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с первого участка первоначально?
Решение. Пусть с первого участка собирали х т пшеницы, тогда со второго (500 х) т. После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3л: т пшеницы, а со второго 1,2(500 - х) т. С двух участков стали собирать (1,3х + 1,2(500 - х)) т, что по условию задачи составляет 630 т.
Составим и решим уравнение. 1,3х + 1,2(500-х) = 630; откуда х = 300.
Таким образом, с первого участка до проведения агротехнических мероприятий собирали 300 т пшеницы.
Ответ: 300.
Пример 13. Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение. Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на х%. В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года, то есть 2000 рублей.
Тогда через год на счете окажется рублей, то есть (2000 + 20х) рублей.
Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся на счете к началу второго года, то есть (2000 + + 20х) рублей. Тогда по прошествии второго года на счете окажется
рублей, то есть (0,2х2 + 40х+ 2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей. Составим и решим уравнение.
0,2х2 + 40х + 2000 = 2420;
0,2х2 + 40х - 420 = 0;
Х2 + 200х - 2100 = 0;
л: = - 210 или х = 10.
Так как по условию задачи значения х должны быть положительными, то х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10%.
Ответ: 10.



Задания для самостоятельной работы
Задание 31. На одной котельной запасено на зиму в 3 раза меньше торфа, чем на второй. Если на первую котельную завезти 680 т топлива, а на вторую 220 т, то торфа на обеих котельных станет поровну. Сколько всего топлива запасено на обеих котельных?
Задание 32. Один из хозяев двух равных по площади смежных участков решил купить у другого 2 га земли. В этом случае площадь участка продавца будет составлять 3/4 площади участка покупателя. Какова первоначальная площадь каждого участка?
Задание 33. Три библиотеки университета поступили заявки на приобретение книг. Стоимость книг в заявке второй библиотеки составляет 50% от заявки первой, а стоимость книг в заявке первой библиотеки 60% от заявки третьей. Стоимость книг в заявке третьей библиотеки превышает заявку второй на 27 тыс. рублей. Какова общая стоимость книг (в тыс. рублей) в заявках трех библиотек?

Задание 34. В двух залах кинотеатра было 640 мест для зрителей. После замены кресел число мест в первом зале увеличилось на 20%, во втором на 15%. Сколько новых кресел установили в первом зале, если общее количество мест в двух залах увеличилось на 180?
Задание 35. При заключении договора с фирмой на изготовление и установку двух дверей заказчик заплатил 39 000 рублей. Согласно договору в случае нарушения фирмой сроков доставки и монтажа дверей фирма обязуется за каждый просроченный день выплачивать заказчику 1,5% суммы договора. Сроки договора были нарушены фирмой, и она возвратила заказчику 2340 рублей. На сколько дней позже срока были установлены окна?
Задание 36. Цена электродрели, входящей в комплект инструментов, составляет 80% цены всего комплекта. После повышения цен на инструменты новая цена дрели стала равной прежней цене всего комплекта. На сколько процентов повысились цены на инструменты?
Задание 37. Писатель фирмы, получив гонорар 150000 рублей, решил положить эти деньги в банк. Для уменьшения риска он разделил всю сумму на две части и положил их в два банка: в первый под 4% годовых, а во второй под 3% годовых. Через год первый вклад принес доход в два раза больший, чем второй. Какую сумму положил писатель в первый банк?
Задание 38. За 6,5 кг винограда и 10 кг черешни заплатили 800 рублей. При сезонном изменении цен виноград подешевел на 60%, а черешня подорожала на 40%. В результате вся покупка подешевела на 35%. Сколько стоит 1 кг черешни после подорожания?
Задание 39. Стоимость 30 экземпляров учебника геометрии для 10 класса и 45 экземпляров учебника геометрии для И класса составляет 6000 рублей. С учетом скидки в размере 5% на учебники для 10 класса и 10% на учебники для 11 класса реальная стоимость покупки составила 5520 рублей. Найдите цену учебника геометрии для 11 класса с учетом скидки.
Задание 40. Две картины общей стоимостью 30 000 рублей продали на аукционе с прибылью в 40%, причем от продажи одной картины было получено 25% прибыли, а от другой 50%. Найдите стоимость более дорогой картины.
Задание 41. В связи с финансовыми проблемами дирекция предприятия уменьшила продолжительность рабочего дня с 8 до 7 часов. На сколько процентов предстоит рабочим повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках их заработная плата возросла на 5%?
Задание 42. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?
Задание 43. Цену товара повысили на 150%. На сколько процентов надо уменьшить полученную цену товара, чтобы она стала равна первоначальной цене?
Задание 44. Торговая база закупила партию альбомов у изготовителя и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?
Задание 45. Вследствие повышения квалификации рабочего его производительность труда повышалась дважды в течение года на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 7500 рублей, а теперь на 8427 рублей, причем расценки за это время не менялись?
Задание 46. В первом полугодии фабрика выполнила 105% полугодового плана выпуска швейных изделий, а во втором полугодии выпустила продукции на 4% больше, чем в первом. На сколько процентов фабрика перевыполнила годовой план, если планы выпуска готовой продукции в первом и втором полугодиях одинаковые?
Задание 47. Новый владелец магазина снизил цены на одну треть, однако через некоторое время вынужден был вернуться к старым ценам. На сколько процентов он при этом увеличил цены?
Задание 48. Для привлечения клиентов владельцы медицинского центра снизили стоимость услуг на 20%. По окончании рекламной акции они вернулись к начальным расценкам. На сколько процентов для этого они повысили стоимость услуг в центре?
Задание 49. До распродажи мужской и женский костюмы стоили одинаково. В начале распродажи на 15% была снижена цена на мужской костюм, но покупателя не нашлось, поэтому еще раз снизили цену на 15%. На сколько процентов нужно однократно снизить цену на женский костюм, чтобы оба костюма снова стали стоить одинаково?
Смеси и сплавы
Пример 14. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900 г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?
Решение. Масса олова в первом сплаве равна 0,6 300 г = 180 г, во втором - 0,8 900 г = 720 г. Тогда масса олова в новом сплаве 180 г + 720 г = 900 г, масса нового сплава равна
300 г + 900 г= 1200 г, процентное содержание олова в нем равно

Ответ: 75.
Пример 15. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с процентным содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально?
Решение. Пусть в смеси было х л спирта, тогда объем воды в ней 4х л.
В новой смеси количество спирта осталось прежним (х л), объем воды в ней (4х + 20) л, объем смеси равен (х + 4х + 20) л, а процентное содержание спирта , что по условию задачи составляет 12%. Получим и решим уравнение:
100х = 12(5х + 20); х=6
Итак, первоначально в смеси было 6 л спирта и 24 л воды.
Ответ: 24.
Задания для самостоятельной работы
Задание 50. Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.
Задание 51. Смешали 300 г 60%-ного раствора серной кислоты и 200 г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?
Задание 52. Имеется два сплава. Один содержит 2,8кг золота и 1,2кг примесей, другой 2,7 кг золота и 0,3 кг примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2 кг сплава с процентным содержанием золота 85%. Сколько килограммов металла отрезали от второго сплава?
Задание 53. В смеси ацетона и спирта ацетона в 2 раза меньше, чем спирта. Когда к этой смеси добавили 300 л спирта, получили смесь с процентным содержанием ацетона 28%. Сколько литров ацетона было в смеси первоначально?
Задание 54. Отношение массы олова к массе свинца в куске сплава равно 2 : 3. Этот кусок сплавили с куском олова весом 3 кг и получили новый сплав с процентным содержанием свинца 10%. Найдите массу олова в новом сплаве.
Задание 55. Имеются два слитка сплава олова медью. Первый слиток содержит 230 г олова и 20 г меди, а второй слиток - 240 г олова и 60 г меди. От каждого слитка отрубили по куску, сплавили их и получили 300 г сплава. Сколько граммов отрубили от первого слитка, если в полученном сплаве было 84% олова?
Задание 56. В двух одинаковых сосудах находятся растворы серной кислоты концентрации 28,7% и 37,3%. Растворы сливают. Какова концентрация полученного раствора кислоты?
Задание 57. У ювелира два одинаковых по массе слитка, в одном из которых 36% золота, а в другом 64%. Сколько процентов золота содержится в сплаве, полученном из этих слитков?
Задание 58. У кузнеца имеется два одинаковых по массе бронзовых бруска. В одном олово составляет 43% массы, а в другом медь составляет 43% массы. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный при переплавке этих брусков?
Задание 59. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в ЮОг 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада.
Задание 60. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 5%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?
Задание 61. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 2 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75% содержанием воды?
Задание 62. Огурцы содержат 99% воды. В магазин привезли 1960 кг свежих огурцов, но в результате неправильного хранения содержание воды в огурцах понизилось до 98%. Сколько килограммов огурцов поступило в продажу?
Задание 63. Сколько литров воды нужно добавить к 12 л уксусной эссенции (смесь уксуса и воды) с содержанием уксуса 80% для приготовления столового уксуса с содержанием воды 94%? Задание 64. В ювелирную мастерскую имеется два сплава золота различной пробы: с содержанием золота 58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота нужно взять, чтобы получить 37 г сплава с 70%-ным содержанием золота?
Арифметическая прогрессия
Прежде чем рассмотреть конкретные примеры, напомним определение и свойства арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (разность арифметической прогрессии), не равным 0: аn+1 = аn + d. где d
· 0.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
аn = a1 + d(n - 1).
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Пример 16. Цена костюма уменьшалась несколько раз на одно и то же число рублей. После третьего снижения она составила 2460 рублей, а после одиннадцатого снижения 1980 рублей. После скольких снижений цена костюма составит 50% начальной цены?
Решение. Последовательность цен на костюм арифметическая прогрессия (аn). Ее первый член аn начальная цена костюма, а разность d величина, на которую каждый раз уменьшалась цена костюма.
Обратите внимание, что цена после третьего снижения четвертый член данной прогрессии, а цена после одиннадцатого снижения двенадцатый член данной профессии. Так как а12 а4 = 8d, то 8d = 1980 - 2460, d = - 60.
Узнаем теперь первоначальную цену костюма: a1 = а4 – 3d= 2460 - 3 (-60) = 2640.
Начальная цена была равна 2640 рублей. Чтобы составить 50% от начальной, цена должна уменьшиться на 2640 : 2 = 1320 (рублей).
Это произойдет за 1320 : 60 = 22 понижения.
Ответ: 22.
Пример 17. Во время распродажи с 21 июня по 30 июня количество проданных сервизов ежедневно увеличивалось на одно и то же число. При этом с 21 по 24 июня было продано 460 сервизов, а с 23 по 26 июня было продано 700 сервизов. Сколько сервизов было продано за все время распродажи?
Решение. Последовательность количеств проданных за день сервизов арифметическая прогрессия (аn) Ее первый член а1 количество сервизов, проданных 21 июня, а разность d величина, на которую каждый день увеличивалось количество проданных сервизов.
Количество проданных сервизов с 21 по 24 июня: 4a1 + 6d= 460.
Количество проданных сервизов с 23 по 26 июня: 4a1 + 14d= 700.
Составим систему уравнений.
.
Решим систему методом сложения, вычитая из второго уравнения первое.


Количество проданных за все время распродажи сервизов сумма десяти первых членов данной арифметической прогрессии:

Итак, за все время распродажи было продано 2050 костюмов.
Ответ: 2050.
Задания для самостоятельной работы
Задание 65. В течение недели перед экзаменом ученик занимался 12 ч 15 мин, причем ежедневно он тратил на подготовку к экзамену на одно и то же число минут больше, чем в предыдущий день. В первые 3 дня он занимался в общей сложности 3 ч 45 мин. Сколько минут он занимался накануне экзамена?
Задание 66. В первые 7 дней марта количество продаваемых в парфюмерном магазине подарочных наборов увеличивалось на одно и то же число ежедневно. Сколько продали наборов за 7 дней, если во второй день продали 95 наборов, а в пятый день 140?
Задание 67. За январь, февраль и март за плата составила в сумме 15900 рублей, а апрель, май, июнь 18 600 рублей, при этом в течение года она ежемесячно увеличивала на одну и ту же величину. Определите зарплату за сентябрь.

Задание 68. Фирма ежемесячно увеличивала в пуск пылесосов на одно то же число. При этом три летних месяца было изготовлено 2790 пылесосов, а за три осенних месяца - 3060 пылесосов. Сколько пылесосов выпустила фирма с января по декабрь включительно?
Задание 69. Студенческая бригада подрядила выложить керамической плиткой автостоянку рядом с летним кафе площадью 288 м2. Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, ч производительность труда будет увеличивать таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2м2 покрытия, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки?
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия числовая последовательность,
в которой каждый член, начиная со втора равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q (знаменатель геометрической прогрессии):
bn+1=bnq
Формула л-го члена геометрической прогрессии: bn=b1qn-1
Формулы суммы n первых членов геометрической профессии:

Пример 18. Число посетителей вновь открывшегося кафе в первые 8 дней работы увеличивалось ежедневно в одно и то же число раз. Сколько человек посетило кафе в восьмой день, если в третий день было 288 посетителей, а в пятый 648?
Решение. Последовательность чисел, равных количеству посетителей кафе в каждый из восьми дней, геометрическая прогрессия (Ьn), в которой даны b3 = 288 и b5 = 648, а найти нужно b8.
Найдем знаменатель прогрессии q. Так как
q2 = b5: bъ = 648 : 288 = 9 : 4 и q > 0, то q = 1,5.
Тогда Ь8 = Ь5 q3= 2187.
Итак, в восьмой день кафе посетило 2187 человек.
Ответ: 2187.
Пример 19. В первую неделю работы очистных сооружений после их реконструкции количество вредных выбросов в реку ежедневно уменьшалось в одно и то же число раз. Сколько вредных веществ попало в реку за эту неделю, если во второй день в реку попало 128м3, а в пятый день 16 м3 вредных веществ?
Решение. Последовательность объемов выбросов в каждый из семи дней геометрическая прогрессия (bn), в которой даны b2=128 и b5 = 16, а найти нужно сумму первых семи ее членов 57.
Найдем знаменатель прогрессии q. Так как q3=b5:b2 = 16:128 =1/8-, то q=1/8 . Тогда b1 =b2 :q = 128: 1/8 = 256, а
Итак, за неделю в реку попало 508 м3 вредных веществ.
Ответ: 508.
Задания для самостоятельной работы
Задание 70. В последнюю неделю мая количество продаваемых в «Детском мире» надувных игрушек для плавания маленьких детей ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Найдите отношение количества проданных игрушек 31 мая к количеству проданных игрушек 30 мая, если 27 мая было продано 45 игрушек, а 29 мая 405 игрушек?
Задание 71. Производительность линии по производству йогуртов в первые пять дней после реконструкции ежедневно увеличивалась в одно и то же число раз. Сколько йогуртов было произведено в пятый день, если во второй день произвели 1200кг йогуртов, а в четвертый 1728 кг йогуртов?
Задание 72. Себестоимость выпускаемой на новом конвейере продукции в первые полгода ежемесячно уменьшалась в одно и то же число раз. Найдите себестоимость продукции во второй месяц этого полугодия (в тыс. рублей), если в четвертый месяц она составила 512 тыс. рублей, а в последний месяц 327,68 тыс. рублей.
Числа
Пример 20. Длины сторон двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2 см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см2. Найдите сторону большего квадрата.
Решение. Пусть сторона первого квадрата равна 5х см, тогда сторона второго квадрата равна 4х см. После уменьшения стороны квадратов стали равными (5х 2) см и (4х 2) см соответственно, а их площади (5х 2)2 см2 и (4х 2)2 см2. По условию задачи (5х 2)2 (4х 2)2 = 28. Решим полученное уравнение.
9х2 - 4х - 28 = 0; тогда х = 2 или х =- 14/9.
Так как по смыслу задачи значения х положительные, то х = 2. Тогда сторона большего из данных квадратов равна 5 2 = 10 (см).
Ответ: 10.

Задания для самостоятельной работы
Задание 73. Отношение сторон прямоугольника равно 3 : 2. Если каждую из них увеличить на 1 см, то площадь прямоугольника увеличится на 3 см. Найдите периметр первого прямоугольника.
Задание 74. Найдите двузначное число, если число его десятков на 3 меньше числа единиц, а сумма квадратов цифр этого числа равна 89.
Задание 75. Найдите полусумму трех чисел, если первое относится ко второму, как 4,5 : 3,75, и составляет 40% третьего, а сумма второго и третьего равна 400.
Задание 76. Числители четырех дробей пропорциональны числам 1, 2, 1, 6, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 5, 3, 7. Найдите наибольшее из этих чисел, если их среднее арифметическое равно 17/35.
Ответы на задания
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Ответ
9
57,6
60
6
60
70
120
6
90
30
15
750
5,5
48
6

№ задания
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Ответ
24
6
17,5
400
48
6
28
14
30
18
5
2
160
280
480

№ задания
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45

Ответ
920
14
1080
320
4
25
90000
14
72
18000
20
20
60
20,2
6

№ задания
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60

Ответ
7,1
50
25
27,75
65
68
1,5
525
3,24
100
33
50
50
350
120

№ задания
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76

Ответ
800
980
148
12
150
875
7400
10980
124
3
2073,6
800
4
58
260
0,75






















13PAGE 143315




Текстовые задачи на ЕГЭTimes New Roman15

Приложенные файлы


Добавить комментарий