Исследовательская работа Способы умножения натуральных чисел


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия №1 города Хабаровска
Городская научно-практическая конференция «Шаг в науку»
Секция математики
Исследовательская работа
«Способы умножения натуральных чисел»
Выполнили:
Ученицы 6 «А» класса
Арутюнян Лилит
Ушакова Диана
Руководитель:
Учитель математики
Короваева С. В.
Хабаровск,2017
Содержание:
Введение............................................................................................... 1
Основная часть…………………......................................................... 4
2.1. Русско-крестьянский способ умножения…………………… 4
Квадрат Пифагора…………………………………………… 6
Таблица Оконешникова……………………………………… 8
Индийский способ умножения………………………………. 10
Египетский способ умножения……………………………… 12
Китайский способ умножения……………………………….. 13
Японский способ умножения………………………………... 14
Метод Ферроля……………………………………………….. 15
Старинный способ Умножение на 9 на пальцах…………… 16
Умножение двухзначных чисел на 11……………………. 17
Умножение на число 142857……………………………… 18
Умножение на число 37037……………………………….. 19
Умножение двухзначных чисел, близких к 100…………. 20
Деление……………………………………………………………… 21
Заключение………………………………………………………….. 22
Литература…………………………………………………………... 23
Введение.
Цель и задачи проекта:
Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.
Задачи:
Найти и разобрать различные способы умножения.
Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
Развить
Гипотеза: Надо ли знать таблицу умножения?
Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы привлечь внимание учащихся к математике и ответить на вопрос «Надо ли знать таблицу умножения?» мы навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.выбрали тему нашего проекта «Способы умножения натуральных чисел».

Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:
Аще кто не твердит
таблицы и гордит,
Не может познати
числом что множати
И во всей науки, несвобод от муки,
Колико не учиттуне ся удручит
И в пользу не будет аще ю забудет.
Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существуют способы перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способы эти, не похожи на наши школьные приемы, некоторые употреблялись в обиходе великорусских крестьян и унаследованы ими от глубокой древности, некоторые используются и в наше время.
В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения многозначных чисел. В данной работе мы приведём несколько способов умножения, возможно они покажутся более простыми и вы будете ими пользоваться.
Основная часть
2.1.Русско-крестьянский способ умножения
Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Пример: 32 х 13
Множимое =32 Множитель = 13
32 13
16 26
8 52
4 104
2 208
1 416
Таблица 1.
Деление пополам (см. левую половину Табл.1) продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число (правая часть Табл.1). Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение: ( 32 х 13 ) = ( 1 х 416 )
Особо внимательные заметят "А как быть с нечетными числами, которые не кратны 2-м?".
Итак, пусть нам необходимо умножить два числа: 987 и 1998. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.
Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение. Дана графическая иллюстрация по данному описанию. ( см. Таблицу 2.)

Таблица 2.
Квадрат Пифагора1 2 3
4 5 6
7 8 9
Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.
Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления, по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).
Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.
Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).
правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же – наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.
Цифра 2: в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).
Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.
Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.
Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.
Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.
Цифра 7: восходящий ряд чисел 147,258,369 из «левого угла» или слева направо. Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.
Таблица Оконешникова
Школьники смогут научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво . Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться? Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место. С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.
Пример: 15647 х 5

Индийский способ умножения
В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры. На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то можно убедиться, что это довольно просто.
Умножаем, например, числа 6827 и 345:
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.
Сетка 1 Сетка 2

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.
Сетка 1

3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.
Сетка 1

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.
Сетка1

Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.
Египетский способ умножения
Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.
Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.
Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:
1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32
Пример разложения числа 25: Кратный множитель для числа «25» — это 16; 25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8; 9 — 8 = 1. Кратный множитель для числа «1» — это 1; 1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.
Пример: умножим «13» на «238» . Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: ✔ 1 х 238 = 238 ✔ 4 х 238 = 952 ✔ 8 х 238 = 1904 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 1904 + 952 + 238 = 3094.
Китайский способ умножения
А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.
Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.
2


3
7

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть 21 х 13 = 273
Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, без таблицы умножения не обойтись!
Японский способ умножения
Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.
Пример: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.
12 х 34



Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.
12 х 34

3



8
100

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.
Метод ФерроляДля умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.
Например: 12х14=168
а) 2х4=8, пишем 8
б) 1х4+2х1=6, пишем 6
в) 1х1=1, пишем 1.
Старинный способ умножения на 9 на пальцах
INCLUDEPICTURE "http://festival.1september.ru/articles/652986/Image541.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://festival.1september.ru/articles/652986/Image541.jpg" \* MERGEFORMATINET
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
Умножение двухзначных чисел на 11
При умножении двухзначного числа на 11 возможны два случая. Сумма цифр числа, умножаемого на 11, меньше 10. В этом случае надо между ними вставить их сумму:
14 • 11 = 1(1 + 4)4 = 154
81 • 11 = 8(8 + 1)1 = 891
39 • 11 = 3(3 + 9)9 = 429.
Сумма цифр числа, умножаемого на 11, больше 9. В этом случае надо между ними вставить количество единиц в сумме цифр данного числа, а первую цифру множимого числа увеличить на 1:
38 • 11 = (3 + 1)18 = 418
96 • 11 = (9 + 1)56 = 1056
47 • 11 (4 + 1)17 = 517
Интересные ответы
1 • 1 = 1
11 • 11 = 121
111 • 111 = 12321
1111 • 1111 = 1234321
11111 • 11111 = 123454321
111111• 111111 = 12345654321
1111111 • 1111111 = 1234567654321
11111111 • 11111111 = 123456787654321
111111111 • 111111111 = 12345678987654321

Умножение на число 142857
При умножении числа 142857 на числа от 1 до 6 получается произведение, записанное теми же цифрами, переставленными в циклическом порядке: 142857 • 1 = 142857;
142857 • 2 = 285714;
142857 • 3 = 428571;
142857 • 4 = 571428;
142857 • 5 = 714285;
142857 • 6 = 857142.
Умножение на число 37037
При умножении числа 37037 на числа от 1 до 9 получается произведение, записанное периодическими цифрами. Затем полученное число умножьте на 3.
37037 • 1 = 37037
37037 • 2 = 74074
37037 • 3 = 111111
37037 • 4 = 148148
37037 • 5 = 185185
37037 • 6 = 222222
37037 • 7 = 259259
37037 • 8 = 296296
37037 • 9 = 333333
Умножение двухзначных чисел, близких к 100
Пример: 94 • 78
Решение: чтобы получить необходимые последние цифры (единицы и десятки), необходимо: 100 – 94 = 6 ,100 – 78 = 22 и результаты перемножить 6 · 22 = 132  32 последние две цифры (1 запоминаем) Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо: 94 – 22 = 72 72+1 = 73 В результате имеем 94•78 = 7332
Деление
На самом деле старинных способов умножения практически не осталось. Но мы бы хотели поделиться с одним облегчавшим ваши действия при делении методом.
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или более множителей, а потом выполняем последовательное деление.
Например :720:45=(720:9):5=80:5=16
Заключение
Умение считать является необходимым элементом образования, так как ошибки в расчётах сбивают с пути и внимание, нужное для осмысления хода решения какой-то задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчётами.
Рассмотрены старинные способы умножения и деления и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел и деления - не единственный и известен он был не всегда, но он достаточно быстр и наиболее удобен. Старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта показывают, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись.
Старинные способы умножения и деления неуклюжи и неудобны, но так ли хорош наш нынешний способ, чтобы в нем невозможны были уже никакие дальнейшие улучшения? Нет, и наш способ не является совершенным; можно придумать еще более быстрые или еще более надежные.
Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 года. Таким образом, цель работы достигнута. Данное исследование можно использовать для проведения математических кружков и факультативов, для подготовки учащихся к математическим олимпиадам и турнирам.
Литература
Гейзер Г.И. История математики в школе, VII-VII классы. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1982
Игнатьев Е.И. Математическая шкатулка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. - М.:, Омега, 1994
Депнам И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. кл. - М.: Просвещение, 1989
Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994--205с.
Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
http://vasadin.livejournal.com/25290.html

Приложенные файлы


Добавить комментарий