Презентация по ТВи МС по теме Понятие случайного события. Совместимые и несовместимые события. Полная группа событий. Равновозможные события. Общее понятие о вероятности события как о мере возможности его наступления


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Теория вероятностейАвтор презентации:Дегтярева МВДата создания презентации:28.01.2016 Понятие случайного события. Совместимые и несовместимые события. Полная группа событий. Равновозможные события. Общее понятие о вероятности события как о мере возможности его наступления Цель: Вопросы: Первый учебный вопрос. Испытания и события. Полная группа событий. Противоположные события.  Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков от одного до шести). Событие – это результат испытания. Событиями в наших примерах являются: выпадение герба или решки, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, B, C и т.д. События можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при испытании. Например, пусть в урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие А={извлечен черный шар} является достоверным, так как других шаров в урне нет.Невозможным называется событие , которое заведомо не произойдет при испытании.Для предыдущего примера событие B=«извлечен белый шар» является невозможным, так как белых шаров в урне нет. Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10 зон. Выстрел- это испытание; попадание в определенную зону, например, в «десятку» – событие; событие, состоящее в том, что мишень либо поражена, либо не поражена- достоверное событие; поражение одним выстрелом сразу трех зон – невозможное событие. Случайным называется событие, которое в результате эксперимента может либо произойти, либо не произойти (в зависимости от случайных обстоятельств).Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка. Поэтому событие «при бросании монеты выпал герб» - случайное. Определение. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие A- появление четырех очков, событие B-появление четного числа очков. События A и B совместимые. Определение. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие A - выпадение герба, событие B - выпадение решки. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого. Несовместимость более чем двух событий в испытании означает по определению их попарную несовместимость.Например, несовместимыми являются события выпадения одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости. Примеры.Выигрыш по одному билету денежно – вещевой лотереи двух ценных предметов – события несовместимые, а выигрыш тех же предметов по двум билетам – события совместимые. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» – события несовместимые, а получение тех же оценок на экзаменах по трем разным дисциплинам – события совместимые. Определение. Два события A и B называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.Событие, противоположное событию A , обозначают через Например, «появление герба» и «появление решки» при подбрасывании монеты, «отсутствие бракованных изделий» и «наличие хотя бы одного бракованного изделия» в партии – события противоположные. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности , если события, образующие полную группу, попарно несовместимы, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.Пример. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание или промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.  1. Сумма двух и более событий. Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или A, или B, или A и B вместе).Например, если из орудия произведены два выстрела и A – попадание при первом выстреле, B - попадание при втором выстреле, то A+B – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие A+B+C состоит в появлении одного следующих событий: A, B, C, A и B,A и C,B иС,A и B и C.Произведение двух и более событий. Диаграммы Эйлера-Венна.Произведением событий A и B называется событие C=A ·B , состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и A и B одновременно). Например, если A- деталь годная, B- деталь окрашенная, то AB- деталь годна и окрашена.Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если A,B,C- появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC- выпадение «герба» во всех трех испытаниях. Разностью событий A и B называется событие C=A-B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B. Равновозможные и единственно возможные события.События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще других (т.е. у всех из них одинаковые шансы произойти) и неравновозможными – в противном случае. Например, из соображений симметрии можно считать, что у любой грани однородного (правильного) кубика одинаковые шансы выпасть по сравнению с другими.А вот пример неравновозможных исходов: наудачу выбранного человека спрашивают, в високосном или невисокосном году он родился. Ясно, что два раза элементарных исхода эксперимента неравновозможны. Исход «Год рождения високосный» имеет примерно в три раза меньше шансов, чем исход «Год рождения невисокосный». Событие – это факт, результат, который в ходе эксперимента может произойти или не произойтиВиды случайных событийСлучайное – событие, которое может произойти или не произойтиИскомое событие- которое нас интересует из всех возможныхРавновозможные события - имеющие равные возможности произойтиНесовместные – если никакие два события не могут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события совместное. Два не совместных события называются противоположными А и Невозможное – если оно в данном опыте не может произойтиРавновозможные - те, которые имеют равные возможности произойти.Достоверные – если оно происходит в данном испытании обязательно. Второй учебный вопросПонятие вероятности случайного события. Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления. Вероятность P(A) события A равняется отношению числа случаев m, благоприятствующих событию A, к общему числу всех возможных исходов испытания n: P(A)=m/n (1) При этом полагают что:испытание содержит конечное число исходов;все исходы испытания равновозможным и несовместимы. Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытания , благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, то есть Пример. Пусть имеется 100 деталей, из которых 97 стандартных и 3 бракованных. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной? Свойства вероятности события.1.Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицу2. Вероятность достоверного события равна единице, так как n\n = 13. Вероятность невозможного события равна нулю, так как 0\n = 0Зная вероятность события А, можем найти и вероятность противоположного события Как вычислить вероятность?Если в некотором испытании существует n равновозможных элементарных событий и m из них благоприятствуют событию A,то вероятностью наступления события А называют отношение m/n и записывают P(A)=m/nНапример: В банке с мармеладом находится 4 синих, 5 красных и 11 белых шарика. Если предположить, что шары перемешаны и вытаскиваются случайным образом, какова вероятность вытащить красный?n=20 P(A)=m/n=5/20=0.25.m=5


Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:Вероятность достоверного события равна единице. P(A)=1.Вероятность невозможного события равна нулю P(A)=0.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.0≤P(A)≤1. III. Статистическое определение вероятности событияИмеет место для испытаний с конечным числом неравновозможных исходов Например, вероятность появления шести очков на верхней грани кубика, у которого центр тяжести не совпадает с геометрическим, не будет равным 1\6. Но это событие обладает вероятностью наступления, которую можно оценить при изучении изменения относительной частоты появления соответствующего события Статистическое определение вероятностиОтносительной частотой (статистической вероятностью) события A отношение числа испытаний (наблюдений), в которых появилось событиеA, к общему числу произведенных испытаний: W(A)=m/n,где m-число испытаний, в которых появилось событие A;n-общее число произведенных испытаний. Относительной частотой появления события А называется отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к общему числу n проведенных испытаний, то есть ; Относительная частота появления события А при проведении k серий по n испытаний в каждой, еслиn достаточно велико, для большинства таких серий сохраняет почти постоянную величину. В общем случае считают, что существует некоторая постоянная, около которой колеблется относительная частота появления события А.За численное значение этой постоянной при большом числе испытаний может быть приближенно принята относительная частота появления события А, или же число, близкое к относительной частоте. Эту постоянную называют статистической вероятностью случайного события А. 2. Задача № 4. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 штук.Решение. ДаноИспользуемые формулыРешение W(A)= 0,9n = 200 m = 0,9 x 200 = 180m – ? m = W(A) nОтвет: 180 годных приборов 3. Задача № 5. В пакете 25 конфет в разных обертках. Какова вероятность того, что выбранные на удачу три конфеты будут именно те, которые Вы хотели? Решение.Используемые формулыm - число исходов испытания , благоприятствующих наступлению события А,n - общее число всех равновозможных несовместных исходовАmn n – число элементов, входящих в каждую комбинацию; m – число всех имеющихся элементовРn=n!n – число элементов, входящих в каждую перестановку, (n- натуральное число) 1. Найдем n - общее число всех равновозможных несовместных исходов при вытягивании трех конфет. Их будет столько, сколько можно составить различных размещений из 25 элементов по три: А253= = 25х24х232.Найдем m. Число случаев, благоприятствующих тому, что будут выбраны нужные три конфеты, столько, сколько можно составить перестановок из трех элементов Р3= 3!= 1х2х3= 6.3. Искомая вероятность равна 6\25х24х23 = 1\2300Ответ: вероятность 1\2300  {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Докажем данную теорему.Пусть событию A  благоприятствуют m1 элементарных исходов, а событию B – m2 исходов. Так как события A  и B  по условию теоремы несовместны, то событию A + B  благоприятствуют m1 + m2 элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,P(A + B) = (m1 + m2)/ n = (m1/n) + (m2 / n) = P(a) +P(B)где P(A) — вероятность события A; P(B) — вероятность событияB .


Задача 1. На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15- второй и 10 третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.Решение: Р(А)-вероятность поступления детали, изготовленной первой бригадой. Р(В)-вероятность поступления детали, изготовленной второй бригадой. Р(С)-вероятность поступления детали, изготовленной третьей бригадой. Р(А)=25/50=1/2, Р(В)=15/50=3/10, Р(С)=10/50=1/5 Р(В+С)= 3/10 +1/5=1/2.Задача 2. Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?Решение: Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое состоит в том, что происходят оба этих события.{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Теорема. Для независимых событий справедливо равенство:Р(АВ) = Р(А) х Р(В).Умножение вероятностей
Задача 1. Стрелок делает по мишени два выстрела. Вероятность попадания по мишени при первом выстреле равна 0.8, а при втором 0.9. Найти вероятность того, что стрелок оба раза попадет по мишени.Решение: Пусть событие С – оба раза стрелок попал по мишени, т.е. С = АВ. Р(С) = Р(АВ) = Р(А) х Р(В) = 0.8 х 0.9 = 0.72.Задача 2. На предприятии 96% изделий признаются пригодными к использованию, а остальные – бракованными. Из каждой сотни пригодных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта.Решение: А – событие, что изделие годно к использованию, В – изделие первого сорта Найти Р (АВ) Р(А)=0,96, Р(ВıА)=0,75 Р(АВ) = 0,96*0,75=0,72

Геометрическая вероятностьПусть отрезок является частью отрезка Если на отрезке L yставится точка, то вероятность попадания этой точки на отрезок определяется равенством: P(A)= ( длина )/(длина L). Полагается, что вероятность не зависит от расположения отрезка относительно L. Источники информации:

Приложенные файлы


Добавить комментарий