Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»


Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»
Цели работы:
расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Гаусса;
развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;
воспитывать у студентов культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.
Основной теоретический материал.
-880745344805Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы - на рисунке сверху.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент  равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
2х+у+z=2х-у=-23х-у+2z=-2 А=А/В=2111-103-122-22~1-102113-122-22Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых: А=1-10031022-268Все элементы третьей строки делим на два А~1-10031011-264Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
А~1-10011031-246 От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3: А=1-1001100-2-246 Умножив третью строку на 0,5 , получаем: А~1-1001100-1-243Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью: А~1-10010001-213Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую: А~100010001-113Полученной матрице соответствует система
    х1 +0 х2 +0 х3= -10∙ х1 + х2 +0 ∙х3= 10∙ х1 +0∙ х2 +х3=3 х1=-1х2=1х3=3 Ответ.  х1=-1х2=1х3=3Задания для самостоятельного решения:
ВАРИАНТ 1
Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
х+2у+z=5-х+3у-2z=3-х-7у+4z=-5 х+2у+z=55у-z=8-5у+5z=0 х+2у+z=55у-z=84z=8

б)х+2у-z=22х-у+z=33х+4у-5z=-4 . в)х+2у-z=42х+у-2z=-43х-3у+z=0

ВАРИАНТ 2
Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
а) х+у-2z=62х+3у-7z=165х+2у+z=16 х+у-2z=6у-3z=4-3у+11z=-14 х+у-2z=6у-3z=42z=-2

б)2х+2у-z=0х-2у+3z=74х+у-4z=6 в)х+2у-z=22х+у-2z=-53х-3у+z=-1


Критерии оценивания:
Работа оценивается на «3»,если: записано решение примера и выполнена проверка решения системы;
самостоятельно методом Гаусса верно решена одна из систем.
Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены любые две системы.
Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены три системы.

Приложенные файлы

Добавить комментарий