Информационное обеспечение промежуточной аттестации школьников по алгебре (7-8 класс)


___________________________________________________________________________
Билет 1
Линейное уравнение и его корни.
Функция у= kx и её график.
Найдите значение выражения 2ac2a2-9c2a+3cac при a = 8,2, c = 2,8.
Дорога между пунктами А и В cостоит из подъема и спуска, а ее длина равна 14 км. Турист прошел путь из А в В за 4 часа, из которых спуск занял 2 часа. С какой скоростью турист шел на спуске, если его скорость на подъеме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч.
___________________________________________________________________________
Билет 2
Прямая пропорциональность и ее график. Линейная функция и ее график.
Понятие арифметического квадратного корня.
Решите систему неравенств:
3x-1-21+x<13x-4>0.
Упростите выражение:
6y2-9+13-y∙y2+6y+95.
__________________________________________________________________________
Билет 3
Понятие тождества. Доказательство тождеств.
Решение уравнений вида x2=a.
Упростите выражение: 3с+8с-5с.
“Ракета“ на подводных крыльях имеет скорость, на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она прошла на 7 ч 30 мин быстрее, чем теплоход. Найдите скорость “Ракеты”.
___________________________________________________________________________
Билет 4
Понятие рационального выражения. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Функция у=x2 и у=x3.
Решите неравенство: 4(2х-1) - 3(3х+2)>1.
Решите неполные квадратные уравнения:
а) 3х2 – 27 = 0; б) 7x2 + 14x = 0; в) 4x2 + 1 = 0; г) 0,8х2 = 0.
_________________________________________________________________________
Билет 5
Формулы сокращенного умножения.
Функция у=x и ее график.
Решите систему уравнений:5x-2y=114x-y=4.
Решите уравнения:
_________________________________________________________________________
Билет 6
Квадратное уравнение и его корни.
Способы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения, группировка.
Решите уравнение: 3y+2+2y=1.
Постройте график функции у = 5x - 2, у=-15x+3 в одной и той же системе координат.
__________________________________________________________________________
Билет 7
Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями.
Упростите выражение: 27-48+75.
Решите квадратное уравнение 2х2 - 7х + 6 = 0 (по формуле I).
__________________________________________________________________________
Билет 8
Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень.
Решение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки.
Решите уравнение: (13х - 15) - (9 + 6х)= -3х.
Разложите на множители: 2а4b2 - 8a2b4.
___________________________________________________________________________
Билет 9
Неполные квадратные уравнения.
Решение систем уравнений с двумя переменными способом cложения.
Решите уравнения: 5,6 - 7у = -4(2у – 0,9) + 2, 4.
Сократите дробь: 3a-ax6a-2ax.
___________________________________________________________________________
Билет 10
Теорема Виета.
Свойства числовых неравенств.
Упростите выражение: 12(6+3)-26∙3.
Сократите дробь: а) 16-a2a+4; б) x2+2x+1x2-1.
___________________________________________________________________________
Билет 11
Свойства арифметического квадратного корня.
Решение квадратных уравнений по формулам.
Решите уравнение: б) 5(3х + 1,2) + х = 6,8 .
Разложите на множители: а) х2 - 3х - 3у - у2; б) 6a2 -12ab + 6b2.
___________________________________________________________________________
Билет 12
Неравенства с одной переменной.
Степень с целым показателем. Свойства степеней с целым показателем.
Решите уравнение: 2x2-2x-5x2+2x=1x.
Решите квадратные уравнения:
а) 5х2 - 2х – 3 = 0 (по формуле II); б) х2 - 10x + 16 = 0 (по теореме Виета).
___________________________________________________________________________
Билет 1Линейное уравнение и его корни
Уравнением с одной переменной (уравнением с одной неизвестной) называют равенство, содержащее одну переменную. Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, имеющие одни и те же корни называют равносильными уравнениями, уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными. При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида ax = b, где x - переменная, a и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Линейное уравнение ax = b:
a) a ≠ 0 ax=b один корень: x=baб) a = 0 и b ≠ 0 0x=b нет корней
в) a = 0 и b = 0 0x=0 бесконечное множество корней (любое число является его корнем)
Функция у=kx и её график
Функцией называют зависимость переменной y от переменной х, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует единственное значение зависимой переменной у.
Y=f(x), где x-независимая переменная (аргумент), а у- зависимая переменная (функция)
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции (D(f)).
Все значения зависимой переменной называют область значения функции (E(f)).
Рассмотрим функцию вида у=kx.
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x-независимая переменная, k≠0
Для построения графика и исследования свойств обратной пропорциональности рассмотрим функции вида у=12x (k>0) и у=-12x (k<0)
а) у=12x (x≠0)
Для построения графика составим таблицу значений функции:
х -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12
у -1 -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 1
б) у=-12x (x≠0).
Для построения графика составим таблицу значений функции:
х -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12
у 1 2 3 4 6 12 -12 -6 -4 -3 -2 -1
Свойства и график функции у=kx№ Свойство функции у=kx (k>0) у=kx (k<0)

1 Область определения (D(f)) x-любое число, кроме 0
2. Область значений (E(f)) y-любое число, кроме 0
3. Если x>0, то у>0. Если х<0, то у<0 Если x>0, то у<0. Если х<0, то у>0
Кривая, являющая графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
Обратной пропорциональностью выражаются зависимости:
а) времени t от скорости v: t= 100v;
б) массы продукта m от его цены p: m= 40p.
Билет 2
Прямая пропорциональность и ее график. Линейная функция и ее график
Прямой пропорциональностью называется функция, которая можно задать формулой вида у=kx, где x-независимая переменная, k≠0.
Прямой пропорциональностью выражаются зависимости:
а) пути S от времени t: S=40t;
б) стоимости товара p от массы m: p=25m.
Для построения графика и исследования свойств прямой пропорциональности рассмотрим функции вида у=1,5x (k>0) и у=-1,5x (k<0)
а) у=1,5x (k>0)
Cоставим таблицу значений функции:
х 0 2
у 0 3
б) у=-1,5x (k<0)
Cоставим таблицу значений функции:
х 0 2
у 0 -3
Свойства и график функции у=kx
№ Свойство функции у=kx (k>0) у=kx (k<0)
11487154127500506730698500
52451012446000
85915583185001111258007350
1 Область определения (D(f)) x-любое число
2. Область значений (E(f)) y-любое число
3. Нули функции Если x=0, то у=0
График расположен  в I и  III четверти График  расположен в  II и  IV четверти.
График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=kx+b, где x-независимая переменная, k и b – некоторые числа.
Для построения графика линейной функции и исследования её свойств рассмотрим функцию вида у=1,5x+2 (k=1,5>0)
Cоставим таблицу значений функции:
х 0 2
у 2 5
Свойства и график функции у=kx+b
№ Свойство функции у=kx+b (k≠0)
201168010287000126293816125710
1 Область определения (D(f)) x-любое число
2. Область значений (E(f)) y-любое число
3. Нули функции Если у=0, то
kх+b=0
x=-bkГрафиком линейной функции является прямая, где k – угловой коэффициент.
Если k>0, то угол наклона прямой – острый;
Если k<0, то угол наклона прямой – тупой;
Число b показывает, в какой точке график пересекает ось ординат.

Понятие арифметического квадратного корня
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число b, квадрат которого равен а.
а=b b≥0b2=a , где а - подкоренное выражение

Например:
а) 36=6, так как 6≥0 и 62=36;
б) 0=0, так как 0≥0 и 02=0;
в) 481=29, так как 29≥0 и (29)2=481;
При a<0 выражение a не имеет смысл.
Например, не имеют смысла выражения -16, -9,5,
Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение a имеет смысл, верно равенство (а)2=аБилет 3
Понятие тождества. Доказательство тождеств
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Например, 2(х+у) и 2х+2у тождественно равные, в выражения 3ху и 3х+у не тождественно равны.
Равенство, верное при любых значениях переменных, называются тождеством.
Примеры:
a + b = b + aab = ba(a + b) + c = a + (b + c)(ab)c = a(bc)a(b + c) = ab + ac
а + 0 = а
а 1 = а
а + (-а) = 0
а (-b) = - ab
a - b=a + (-b)
(-a) (-b) = ab
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Правила выполнения тождественных преобразований:
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;
Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.
Выполнение тождественных преобразований помогает при доказательстве тождеств.
Доказать тождество – это значит установить, что при всех допустимых значениях переменной его левая и правая части тождественно равные выражения.
Способы доказательства тождеств:
Преобразовывают левую часть и получают в итоге правую часть;
Преобразовывают правую часть и получают в итоге левую часть;
По отдельности преобразовывают правую, а затем левую часть и в итоге получают равные выражения;
Составляют разность левой и правой части и в итоге получают нуль.
Привести пример самостоятельно!
Решение уравнений вида x2=a
Рассмотрим возможные решения уравнения вида x2=a, где a- произвольное число
Уравнений вида x2=a
a>0 a=0 a<0
Уравнение имеет
два корня Уравнение имеет
один корень Уравнение не имеет
корней
x1=ax2= -ax=0 100774513970000139319078209800491490795433001505317569603у=a
00у=a
544830832485381597171535700 9953371435100092138516296320013404851382395у=0
00у=0
3378201724025343535171935800 13627101852517у=a
00у=a
3821242085355377603171704000100584014160500
Две точки пересечения графиков функции у=а и у=x2 Одна точка пересечения графиков функции у=а и у=x2 Нет точек пересечения графиков функции у=а и у=x2
Билет 4
Понятие рационального выражения. Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Целые выражения – выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
Примеры: 8a3b, c2+d2, p(p+3)5Дробные выражения – выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на выражение с переменной.
Примеры: 2р2+ p(p+2)p-5, ab-a2b2-4Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.
Например, выражение 5 + 2а не имеет смысл при а=0.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражения вида аb называют дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.
Примеры: pp-5, b2b2-4, с7Основное свойство рациональной дроби
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
ab=acbcПример: x+5x-3=(x+5)(y-2)(x-3)(y-2)Основное свойство дроби позволяет выполнять сокращение дробей
Пример: a2-9ab+3b=a-3a+3b(a+3)=a-3bФункция у=x2 и у=x3
а) Составим таблицу значений функции у=x2:
х -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
у 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
б) Составим таблицу значений функции у=x3:
х -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
у -8 -3,4 -1 -0,1 0 0,1 1 3,4 8
Свойства и графики функции у=x2 и у=x3
№ Свойство функции у=x2 у=x3 Зависимость площади квадрата от его стороны пример функции, которая задается формулой вида у=x2
Зависимость объема куба от его ребра пример функции, которая задается формулой вида у=x3
График 1104900144780003803652077085
График функции - парабола 10867771447800026352515233650
1 Область определения (D(f)) x-любое число x-любое число
2. Область значений (E(f)) y-любое неотрицательное число (y≥0) y-любое число
3. Нули функции Если x=0, то у=0
4 Противоположным значениям аргумента x соответствует одно и то же значение у.
Противоположным значениям аргумента x соответствуют противоположные значение у.
Билет 5
Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения часто используются при решении различных задач. Применение этих формул позволяет в некоторых случаях умножать одно выражение (многочлен, число) на другое гораздо компактнее, легче и быстрее, так как не приходится каждый раз умножать одно выражение на другое по общему правилу.
№ Формула сокращенного умножения Формулировка Пример
1 (a + b)2=a2 +2ab + b2
формула квадрат суммы Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения. (10х2+3у)2=
(10х2)2+210х23у+(3у)2=
=100x4+60x2у+9у2
2 (a - b)2=a2 - 2ab + b2
формула квадрат разности Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения. (8х - у)2=
=(8х)2-28ху+у2=
=64x2-16xу+9у2
3 (a + b)3=
=a3 + 3a2b + 3ab2+b3
формула куба суммы Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. (2х + 3)3=
(2х)3+3(2х)23+32x32+33=
=8x3+36x2+54x+27
4 (a - b)3=
=a3 - 3a2b + 3ab2-b3
формула куба разности Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. (3х - 2)3=
(3х)3-3(3х)22+33x22-23=
=27x3-54x2+36x-8
5 (a - b)(а+b)=a2 - b2
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности двух выражений (3х – 5у)(3х +5у)=
=(3х)2-(5у)2=9x2-25у2
6 a2 - b2=(a - b)(а+b)
формула разности
квадратов Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности этих выражений. 9x2-25у2=(3х)2-(5у)2=
=(3х – 5у)(3х +5у)
7 a3 + b3=
=(a + b)(a2 - ab + b2)
формула суммы кубов Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата разности 27x3+у3=(3х)3+ у3=
=(3х+ у)(9x2-3xу+ у2)
8 a3 - b3=
=(a - b)(a2 + ab + b2)
формула разности кубов Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата суммы х6-у3=(х2)3- у3=
=(х2- у)(x4+x2у+ у2)
Функция у=x и ее график
Рассмотрим функцию вида у=x (x≥0)
Для построения графика составим таблицу значений функции:
х 0 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
у 0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
1703704127000
1516380104139900
Свойства функции у=x1. Область определения (D(f)) Множество неотрицательных чисел: x>0
2. Область значений (E(f)) Множество неотрицательных чисел: у>0
3. Нули функции Если x=0, то у=0 (график проходит через начало координат)
4. Знакопостоянство Если x>0, то у>0 (график расположен в первой координатной четверти)
5. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции (график функции идет вверх)
Билет 6
Квадратное уравнение и его корни
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где x-переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а≠0
Числа а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения.
Число а – первый или старший коэффициент;
b - второй коэффициент,
с - свободный член.
Квадратным уравнением называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1. Например, уравнение х2 +3х - 4 = 0 - приведенное квадратное уравнение, так как a=1.
Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.  Например, уравнение 2х2 - 5x + 3 = 0 - неприведенное квадратное уравнение, так как a=2.Различают также полные и неполные уравнения. 
Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю. 
Корнем квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называют значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bх + с обращается в нуль;
Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Способы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного
умножения, группировка
Разложить многочлен на множители это значит представить его в виде произведения более простых многочленов.
Рассмотрим три способа разложения многочлена на множители:
Вынесение общего множителя за скобки
а) с3-с4=с3(1-с);
б) 5a3-20a=5a(a2-4)=5a(a-2)(a+2);
в) 7x(x-3)+x2(x-3)=(x-3)(7x+x2)=(x-3)x(7+x)=x(x-3)(7+x)
Использование формул сокращенного умножения (см. билет №5)
а) a2-b2= (a-b)(a+b);
б) 9a2-6a+1=(3a)2 -23a 1+12=(3a-1)2;
в) x4-16=(x2)2-42=(x2-4)(x2+4);
г) x2-2xc+c2-d2= (x2-2xc+c2)-d2=(х-с)2-d2=(x-c-d)(x-c+d)
Cпособ группировки
а) 2xy+3у-2х-3=(2xy-2x)+(3у-3)= 2x(y-1)+3(у-1)= (y-1)(2x+ 3)
б) аb3-3b3+ab2y-3b2y=b2(ab-3b+ay-3y)= b2((ab-3b)+(ay-3y))= b2(b(a-3)+y(a-3))=
= b2(b+y)(a-3)
В задачах на разложение многочлена на множители один какой-либо способ используется редко, чаще всего в задании используются несколько способов.
Привести пример самостоятельно!
Билет 7
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах + bу=с, где x и у - переменные, а, b, с – некоторые числа.
Например, 5х +3у = 10 , -7x+y=5, х-у=5 - линейные уравнения с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, пара чисел (7; 2) является решением уравнения х-у = 5, а пара чисел (3; 2) не является решением уравнения х-у = 5.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называют равносильными уравнениями, уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считаются равносильными. При решении уравнений с двумя переменными используют такие же свойства, как и при решении уравнений с одной переменной:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Для примера построим график линейного уравнения с двумя переменными:
5х +3у = 10
Выразим переменную у через х:
3у = 10-5х
Разделим обе части уравнения на 3:
у = 10-5х3;
у = 103-53х.
Cоставим таблицу значений функции:
х 0 2
у 1030
Построим график функции:
22320251301750020008859016990026066746477000
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Графиком уравнения с двумя переменными, в которых хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
ах + bу=с (5х +3у = 10)
a=0 b=0 а=0 и b=0
0х +3у = 10
у = 103График - прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с ординатой 103. 5х +0у = 10
x=2
106680174307400График - прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку с абсциссой 2. 0х +0у = 10
При c=0 графиком является вся координатная плоскость.
При с 0 график не содержит ни одной точки
-9207541465500946151054099005797545207000
102933446355005918192095500 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными
знаменателями
Сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями
Правило Краткая запись Пример
Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями нужно сложить (вычесть) числители, а знаменатель оставить прежним ac±bc=a±bc3x10y2+2x10y2=3x+2x10y2=5x10y2=x2y2Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями нужно:
Найти НОД знаменателей
Определить дополнительные множители для каждой дроби.
Умножить каждую дробь на дополнительный множитель
Сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями ac±bd=ad±bccda+3a2+ab-b-3ab+b2==a+3a(a+b)-b-3b(a+b)==a+3b-(b-3)aab(a+b)==ab+3b-ab+3aab(a+b)==3(a+b)ab(a+b)=3abБилет 8
Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень
Правило Краткая запись Пример
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь нужно:
Перемножить их числители и перемножить их знаменатели.
Первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем abcd=acbd ,a, b, c, d – некоторые многочлены, причем b и с- ненулевые многочлены a34b26ba2=a36b4b2a2=3a2b pm+2pmpm2m2-4=
=p(m+2)pm2m(m-2)(m+2)=p2mm-2Возведение дроби в степень
Чтобы возвести дробь в степень нужно:
Возвести в эту степень числитель и знаменатель.
Первый результат записать в числителе, а второй – в знаменателе дроби. abn=anbn2a2b43=2a23b43=8a6b12Деление дробей
Чтобы разделить дробь на дробь нужно:
первую дробь умножить на дробь, обратную второй. ab:cd=abdc ,a, b, c, d – некоторые многочлены, причем b и с- ненулевые многочлены 7a2b3:14ab=7a2b3b14a=a2b2x-2x:x+1x+2=x-2xx+2x+1===x2-4x2+xРешение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, образующая каждое уравнение системы в верное равенство.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
На практике используются три способа решения уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки, способ сложения, графический способ.
Рассмотрим на примере алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными способом подстановки.
Алгоритм Пример. Решите систему уравнений:
7x+6y=63x+4y=9Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.
Выразите из второго уравнения x через у:
3х=9-4у;
х= 9-4у3Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Подставьте в первое уравнение вместо буквы x выражение 9-4у3:
79-4у3+6у=6
Решить получившееся уравнение с одной переменной. Решите полученное уравнение с переменной у:
79-4у3+6у=6
(домножим обе части уравнения на 3)
7(9-4у)+36у=36
63-28у+18у=18
63-10у=18
-10у=18-63
-10у=-45
у=4,5
Найти соответствующее значение второй переменной. Подставьте в уравнение х= 9-4у3 вместо у число 4,5:
х= 9-44,53=9-183=-93=-3Ответ: (-3; 4,5)
Билет 9
Неполные квадратные уравнения
Неполное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю.
ах2 + bх + с = 0 (a≠0)
b=0 c=0 b=0 и c=0
ах2 + с = 0 ах2 + bх = 0 ах2  = 0
х2  =-ca x(аx+b) = 0 х2  = 0
Если -ca>0, то уравнение х2  =-ca имеет два корня:
x1= -cax2=- -caЕсли -ca<0, то уравнение х2  =-ca не имеет корней
x1= 0 или аx+b = 0
x2=-baх = 0
Примеры
-3x2+15=0
-3x2=-15
x2=-15:(-3)
x2=5>0, 2 корня
x1=5x2=-5Ответ: 5, -54x2+3=0
4x2=-3
x2=-3 : 4
x2=-34<0,
нет корней
Ответ: корней нет 4x2+9x=0
x(4x+9)=0
x1= 0 или 4x+9 = 0
4x=-9
x=-94 x2=-214Ответ: 0; -214-3x2=0
x2=0: (-3)
x2=0
x=0
Ответ: 0
Решение систем уравнений с двумя переменными способом cложения
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, образующая каждое уравнение системы в верное равенство.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
На практике используются три способа решения уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки, способ сложения, графический способ.
Рассмотрим на примере алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными способом сложения.
Алгоритм Пример. Решите систему уравнений:
5x+11y=810x-7y=74В случае необходимости уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях. Для того, что коэффициенты при переменной х в обоих уравнениях стали противоположными числами умножим все члены первого уравнения на -2, а второе уравнение оставим без изменения:
-10x-22y=-1610x-7y=74Чтобы получить уравнение с одной неизвестной почленно сложить или вычесть полученные уравнения. Сложим почленно полученные уравнения. Получим уравнение:
-29у=58
Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных. у=58:(-29)
у=-2
Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную. Подставим полученное выражение в первое уравнение и найдем значение переменной x:
-10x-22(-2)=-16
-10x+44=-16
-10x=-16-44
-10x=-60
x=-60:(-10)
x=6
Ответ: (6; -2)
Билет 10
Теорема Виета
Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
Кратко: Если х2 + pх + q = 0, то x1+x2=-px1∙x2=qДано:
х2 + pх + q = 0 – приведенное квадратное уравнение Доказательство: Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент букой p, а свободный член буквой q:
х2 + pх + q = 0.
Дискриминант этого уравнения: D= p2 - 4q .
Пусть D>0, тогда уравнение будет иметь два корня:
x1=-p-D2x2=-p+D2x1+x2=-p-D2+-p+D2=-p-D-p+D2=-2p2=-px1∙x2=-p-D2∙-p+D2=(-p-D)(-p+D)4=(-p)2-(D)24=p2-(p2-4q)4=4q4=qЧто и требовалось доказать.
Доказать:
x1+x2=-px1∙x2=qНапример, решим по теореме Виета уравнение:
х2 -9х + 20 = 0 x1+x2=9x1∙x2=20 4+5=94∙5=20Итак, x1=4, x2=5Ответ:4; 5.
Теорема Виета позволяет решить любое приведённое квадратное уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после тренировок, можно научиться видеть корни сразу.
Пользуясь теоремой можно значительно упростить решение квадратных уравнений, не прибегая к сложным расчетам и, тем самым, избегая многих вычислительных ошибок.
Свойства числовых неравенств
Определение: Число a больше числа b, если разность a-b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число.
Неравенства вида a<b или a>b –строгие неравенства
Неравенства вида a≤b или a≥b – нестрогие неравенства
Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.
№ Буквенная запись Словесная формулировка
1 Если а < b, то b > а, и, наоборот,
если а > b, то b < а. 2 Если a < b и b < c,  то а < с. 3 Если а < b и c-любое число, то
а + с < b + с Если к обеим частям  верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
4 Если a<b и c-положительное число, то ac<bc Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если a<b и c-отрицательное число, то ac>bc Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Следствие: если a и b – положительные числа и a<b, то 1a>1b5 Если a<b и c<d, то a+c < b+d Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
6 Если a<b и c<d, то a, b, c, d - положительные числа, то ac<bd Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.
Билет 11
Свойства арифметического квадратного корня
№ Буквенная запись Словесная формулировка Пример
1 Если a≥0 и b≥0, то
ab=a∙bКорень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей 1) 814=81∙4==92=182) 3298==162492==16494=472=562 Если a≥0 и b>0, то ab=abКорень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя 1)819=819=93=32) 1214=494=494=72=3,53 При любом значении x верно равенство:
x2=xИначе:
Если x ≥0, то x2=x;
Если x <0, то x2=-x. Преобразуем выражение x10, где х<0:
x10=(x5)2=| x |5= -x5, так как х<0
Решение квадратных уравнений по формулам
Для отыскания корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 по формуле (I) используется следующий порядок:
Найти дискриминант (D) квадратного уравнения (D=b2-4ac) и сравнить его с нулем.
Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
D=b2-4ac
D>0 D=0 D<0
два корня один корень корней нет
x1=-b-D2ax2=-b+D2ax=-b2aЗадание: Решить квадратные уравнения по формуле (I)
а) 12x2+7x+1=0 б) x2-12x+36=0 в) 7x2-25x+23=0
При решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом удобнее пользоваться формулой (II):
Найди дискриминант, деленный на 4, D4квадратного уравнения
(D4=b22-ac) и сравнить его с нулем.
Если D4 положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если D4 отрицателен, то записать, что корней нет.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b-четное число
D4=b22-acD4>0 D4=0 D4<0
два корня один корень корней нет
x1=-b2-D4ax2=-b2+D4ax=-b2aЗадание: Решить квадратные уравнения по формуле (II)
а) 9x2-14x+5=0 б) 3x2-14x+16=0 в) 7z2-20z+14=0
Билет 12
Неравенства с одной переменной
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Например, число 4 является решением неравенства 5х-3>10, так как подставив это число в неравенство получается верное неравенства:
54-3>10;
17>10
верное неравенство
Число -2 не является решением неравенства 5х-3>10, так как подставив это число в неравенство получается неверное неравенство:
5(-2)-3>10;
-13>10
неверное неравенство
Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства:
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
Линейными неравенствами с одной переменной называются неравенства вида ax<b или ax>b, где a, b – некоторые числа
Рассмотрим несколько примеров.
Решите неравенство:
16x>13x+45
16x-13x>45
3x>45
x>45:3
x>15
7880359207515
0015
260731029845x
00x
115189080010001739901454150012484104000500
Ответ: (15; +∞) Решите неравенство:
15x-23(x+1)>2x+11
15x-23x-23>2x+11
15x-23x-2x >23+11
-10x>34
x<34:(-10)
1888490102870-3,4
00-3,4
257556031750x
00xx<-3,4
73977539370001873885901700017399014541500
Ответ: (-∞; -3,4)
Решите неравенство:
x3-x22НОЗ(2; 3)=6
Умножим обе части неравенства на НОЗ, т.е. на 6. Получим
x3∙6-x2∙62∙62x-3x12-x12x12:(-1)716280108585-12
00-12
257746548260x
00xx-12Решите неравенство:
2(x+8)- 5x <4-3x
2x+16-5x <4-3x
2x-5x+ 3x <4-16
0x <-12
Полученное неравенство не имеет решений, т.к. при любом значении x оно обращается в неверное числовое неравенство вида 0<-12
115189080010001739901454150012484104000500
Ответ: [-12; +∞) Ответ: решений нет
Степень с целым показателем. Свойства степеней с целым показателем.
Выпишем последовательно степени числа 5 с показателем 0, 1, 2, 3, 4, и т. д.
Получим строку 50, 51, 52, 53, 54, …
В этой строке каждое следующее число в 5 раз больше предыдущего.
Продолжим строку по тому же закону влево, перед числом 50 следует написать число 15=151, перед числом 151- число 125=152, перед числом 152- число 153 и т. д.
Получим:…., 154, 153, 152, 15, 50, 51, 52, 53, 54, …
В строке справа от числа 50 показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 50, их записывают в виде степени числа 5 с отрицательным показателем. Вместо 151 пишут 5-1, вместо 152 пишут 5-2, вместо 153 пишут 5-3 и т.д. Получим: ….., 5-4, 5-3, 5-2, 5-1, 50, 51, 52, 53, 54, …
Определение: Если а0 и n- целое отрицательное число, то аn =1a-nНапример: 5-2=152=125, (-3)-4=1(-3)4=181, 12-3=1123=118=8
Выражение 0n при целом отрицательном и при n=0 не имеет смысла
Свойства степени с целым показателем
№ Свойство Пример
1 am an= am+n a-17a21= a-17+21=a4
2 am : an= am-n b2 : b5= b2-5= b-3
3 (am)n= amn (2ab3)-2=2-2а-2(b3)-2=122a-2b-6=14a-2b-6
4 (ab)n= anbn (13c-5)-3= (13)-3(c-5)-3=33c15
5 abn=anbn2a3-2=2-2(a3)-2=122a-6=14:a-6=14a-6

Приложенные файлы

Добавить комментарий