Олимпиадные задания .10 класс. Оценивание с критериями.

Муниципальный этап Российской олимпиады по математике 2011-12 учебного года
10 класс (c решениями)
Время решения – 4 часа

Два натуральных числа в сумме составляют 2011, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа.
Ответ: 1829 и 182.
Решение. Обозначим второе число за 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда первое число имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где13 EMBED Equation.DSMT4 1415 цифра. Из условия задачи получаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии. Ответ без доказательства единственности – 3 балла.

На плоскости отмечены четыре точки А, В, С и D. Известно, что АВ ( СD, BC ( AD. Доказать, что AC ( BD.
Решение. Легко видеть, что точки А, В и С не могут лежать на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник, в котором точка D есть пересечение двух высот: CD и AD. Но тогда ВD – третья высота треугольника АВС, и она перпендикулярна стороне АС.
Критерии. Не доказано, что точки А, В и С не могут лежать на одной прямой – не более 5 баллов.

Два графика 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют единственную общую точку. Чему равна абсцисса этой точки?
Ответ: 0 или 2. Решение. Из условия следует, что уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет единственное решение, которое нужно найти. Дискриминант этого уравнения равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а корни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поскольку согласно условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии. Найден один ответ – 1 балл, оба ответа без обоснования, что других нет, – 3 балла.

В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешается либо умножить на 2 все числа строки, либо вычесть 1 из всех чисел столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы во всех клетках таблицы стояли нули.
Решение. Выберем произвольный столбец и будем вычитать из всех элементов столбца 1 до тех пор, пока наименьшее из чисел столбца не станет равным 1. Если не все числа столбца стали равными 1, то поступим так: умножим на 2 все строки, в которых стоят 1 выбранного столбца, и снова вычтем из всех элементов столбца 1. В результате все 1 останутся 1, а остальные числа уменьшатся на 1. Очевидно, что после нескольких таких операций все числа выбранного столбца станут равными 1. Теперь можно вычесть из всех элементов столбца 1, и он станет нулевым. Выберем другой столбец и теми же действиями добьемся, чтобы он стал нулевым. Заметим, что, работая со вторым столбцом, мы не изменим уже полученные нули в первом столбце. Последовательно делая нулевыми один столбец за другим, получим таблицу из одних нулей.
Критерии. Если показано, как получить нулевой столбец, то не менее 4 баллов.

На пост мэра баллотировались три кандидата. Кандидат А заявил: «Я умнее Б». Кандидат Б заявил: «Я честнее В». Кандидат В заявил: «Я богаче А». Известно, что самый богатый солгал, самый умный сказал правду, а самый честный был третий. Кто из кандидатов был самый богатый?
Ответ: самый богатый Б. Решение. Кандидат В не может быть самым богатым, так как в противном случае он сказал правду, что противоречит условию. Допустим, самый богатый – А. Но тогда В солгал, значит согласно условию он не может быть самым умным, значит, самый умный – Б, самый честный – В. Но тогда Б сказал правду и он честнее В. Мы получили противоречие. Значит, самым богатым может быть только Б. Нетрудно убедиться, что такая ситуация возможна.
Критерии. Если найден ответ без обоснования или с неверным обоснованием – 1 балл. Если задача решается перебором, то следить за тем, чтобы были рассмотрены все варианты, в противном случае перебор решением не считать.

Приложенные файлы

Добавить комментарий