задачи для школьного этапа олимпиады по математике

Задачи для школьного этапа олимпиад по математике
в 10 – 11 классах.

1. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 – река, а на 13 –и то, и другое; на остальных картинах – не поймешь что. Сколько картин изображают не поймешь что?
Решение:
Лес – 17 картин
Река – 29
Лес и река – 13
Не поймешь что - ?
Всего картин 42.
17 – 13=4 (картины, только лес)
29 – 13=16 (картин, где только река)
4+16+13=33 (картины, где лес, река, лес и река)
42 – 33=9 (картин, где не поймешь, что)
Ответ: 9 картин изображают не поймешь что.

2. Машины часы опаздывают каждый час на 2 минуты. Если по радио передают сигнал 12 часов, то через сколько времени на часах Маши будет 12 часов, если её часы показывали точное время ровно 5 часов тому назад?
Решение:
12 – 5=7 (точное время у Маши)
1) Через 1 час на часах 8 часов по радио, а у Маши 7 часов 58 минут.
2)по радио 9 часов, у Маши 8 часов 56 минут.
3)по радио 10 часов, у Маши 9 часов 54 минуты.
4)по радио 11 часов, у Маши10 часов 52 минуты.
5)по радио 12 часов, у Маши11 часов 50 минут.
Машины часы за 10 минут еще опоздают.
1 час – 2 минуты
60 минут – 2 минуты
10 минут – х мин.
60 х = 20
х = 20/60 = 1/3 мин.
10+1/3 = 10 1/3 мин.
Ответ: через 10 1/3 мин. у Маши на часах будет 12 часов.

3. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике -50, по информатике -48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ "в двух" дали вдвое меньше человек, чем ответ "в одной", а ответ "в трех"- втрое меньше, чем ответ "в одной". Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?
Решение: пусть в 1 олимпиаде участвовало х детей,
В 2-х олимпиадах – 1/2х детей,
В трех олимпиадах – 1/3х детей.
Всего участвовало 100 + 50 + 48 = 198 детей.
х + 1/2х + 1/3х = 198
11/6 х = 198
х = 108 (детей участвовало в 1 олимпиаде)
Ѕ х = 54 в двух олимпиадах.
1/3 х = 36 – в трех олимпиадах.
Ответ: 108; 54; 36.
4.Четверо игроков сделали каждый свой прогноз в отношении четырех лошадей, которые должны были прийти первыми на скачках. Гоша считал, что лошади придут в таком порядке: он указал первым номером лошадь по кличке Звездочка, вторым – Светлячка, третьим – Золотого Луча и четвертым – Радугу. Он угадал двух лошадей. Прогноз Славы был таков: первой придет Радуга, второй – Звездочка, третьим – Светлячок и четвертым – Золотой Луч. Слава при этом угадал только одну лошадь. Вася считал, что Светлячок и Радуга займут места рядом друг с другом, но он ошибся. Выиграл Николай. Каков был его прогноз? Ответ: прогноз был такой : 1-й прейдет Светлячок, 2-й – Звездочка, 3-й – Золотой луч и 4-й Радуга
 
5.Улитка ползет по координатной плоскости. С каждой минутой она ползет медленней в 3 раза и каждую минуту меняет направление6 таким образом: на север, на восток, на юг, на запад, на север и т.д. каковы будут координаты Улитки через 6 минут, если стартовала она из начала координат и за первую минуту она проползла 243 единицы на запад?
Решение:
Улитка отправилась в путешествие из начала координат (0;0).
1 минута – 243 единицы на запад – А(-243; 0).
2 минута – 243 : 3 = 81 ед на север – В(-243; 81).
3 минута – 81 : 3 = 27 ед. на восток – С(-216; 81).
4 минута – 27 : 3 = 9 ед. на юг – К(-216; 72).
5 минута – 9 : 3 = 3 ед. на запад – М(-219; 72).
6 минута – 3 : 3 – 1 ед. на север – Р(-219; 73).
Ответ: (-219; 73).
.
6. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов, и из них 147 – в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущие. Сколько кораллов Карл украл в 10-й день? (9)
Решение:
Следуя условию задачи, получим:
S10 = 165,
S7 = 147.
Тогда (2а1 + 9 d ) : 2 ·10 = 165;
(2а1 + 6 d ) : 2 · 7 = 147.
2а1 + 9d = 33;
а1 + 3d = 21. отсюда а1 = 30; d = -3,
а, следовательно, а10 = 30 + 9 · (-3 ) = 3.
В 10-й день Карл у Клары украл 3 коралла.

Ответ: 3 коралла.

7. Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник? (1)
Решение:
Здесь неизвестно общее число купленных животных, поэтому не удастся составить уравнение с одной переменной или систему уравнений с двумя переменными.
Пусть чиновник купил х лошадей и у быков. Тогда
31х + 21у = 1770.
По смыслу задачи х и у – натуральные числа. Так как 21 и 1770 делятся на 3, то 31х делится на 3 и х делится на 3. пусть х = 3х1, где х1 – натуральное число. Тогда
31 х1 + 7у = 590,
х1 = (590 – 7у) : 31.
Преобразуем полученное выражение:
х1 = (590 – 7у) : 31 = 19 + (1 – 7у) : 31 = 19 – (7у - 1) : 31.
Очевидно, что х1 будет целым. если 7у – 1 делится на 31. наименьшим натуральным числом у, при котором это произойдет, является число 9. при этом х1 = 17, а, значит, х = 51. первое решение уравнения найдено: (51; 9).
Чтобы не заниматься долгим перебором значений у, заметим, что следующие целые значения х1 будут получаться от увеличения у = 9 на число, кратное 31. тогда у = 9 + 31 = 40, х1 = 10, а, значит, х = 30.
у = 40 + 31 = 71, х1 = 3, а, значит, х = 9.
При следующих значениях у значения х1отрицательны. Таким образом, уравнение имеет три решения в натуральных числах:
(51; 9); (30; 40); (9; 71).
Ответ: Чиновник купил:
51 лошадь и 9 быков;
или 30 лошадей и 40 быков;
или 9 лошадей и 71 быка.

15

Приложенные файлы

Добавить комментарий