Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе

Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе
Шувалова Ю.Г. – учитель математики МОУ школы №10 г.о. Тольятти
Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными. Уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.
Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез.
Структура решения задачи на построение.
Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, состоит не в том, чтобы выполнить соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений. Правильное, осмысленное решение задач на построение состоит из основных этапов: анализ, построение, доказательство (синтез), исследование.
Анализ. Составляется план решения. Для этого поступают так: предполагают задачу решенной, делают от руки примерный чертеж искомой. Нужно найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволила бы определить положение искомой точки (отрезка или угла), на нахождение которых нацелено решение задачи.
Построение – механическое выполнение тех приемов, которые были выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. При построении используют основные приемы (задачи на построение), т.е. любая задача на построение разбивается на конечное число шагов (простейших задач на построение).
Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе. Поэтому иногда доказательство называют синтезом.
Исследование имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима, сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить, меняется ли ход решения в них и как именно.

Основные построения с помощью циркуля и линейки.
Для выполнения основных построений с помощью циркуля и линейки используется метод решения, при котором искомую точку строят как точку пересечения множеств (геометрических мест), определяемых некоторыми условиями. Данный метод так и называется – метод пересечения множеств или метод геометрических мест. С помощью этих инструментов мы можем выполнить огромное множество построений. Какие простейшие построения являются стандартными? Авторы учебников [1], [6] к основным построениям в 7 классе относят:
построить отрезок, равный данному отрезку; построить середину отрезка.
построить перпендикуляр к прямой, построить серединный перпендикуляр.
построить угол, равный данному углу; построить биссектрису угла.
построить треугольник (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон).
построить прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу).
построить прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой
К стандартным построениям 7 класса добавим:
1. Построение отрезков 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Изобразим луч ОС и отрезки а и b (а > b). Затем циркулем построим окружность радиуса а с центром О (Приложение 1, рис. 1.1). Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке К, затем циркулем построим окружность радиуса b с центром К и получим точку пересечения Р на продолжении луча ОС и точку Н на отрезке ОК. При этом ОР= ОК + КР = а + b, ОН= ОК – КН = а – b. Изобразим луч ОС и отрезок АВ = а. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке А1. На продолжении луча ОС от точки А1 построим окружность радиуса АВ с центром А1 – получим точку А2 (при этом ОА2 = 2АВ). Построение будем продолжать до тех пор, пока ОАn = nа. (Приложение 1, рис. 1.2).
2. Построение углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Циркулем и линейкой строим 13 EMBED Equation.3 1415МОК=13 EMBED Equation.3 1415. Строим 13 EMBED Equation.3 1415КОР=13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы луч ОР проходил внутри 13 EMBED Equation.3 1415МОК, и 13 EMBED Equation.3 1415ЕОК=13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы луч ОЕ проходил вне 13 EMBED Equation.3 1415МОК. При этом получаем: 13 EMBED Equation.3 1415МОЕ= 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415МОР=13 EMBED Equation.3 1415 (Приложение 1, рис. 2).
3. Построение угла в n раз больше данного угла. Построение угла в n раз больше данного угла сводится к построению n раз угла, равному данному. Например: чтобы построить 13 EMBED Equation.3 1415MON в 3 раза больше заданного угла АВС, необходимо построить 13 EMBED Equation.3 1415МОК= 13 EMBED Equation.3 1415АВС. Затем построить 13 EMBED Equation.3 1415КОР= 13 EMBED Equation.3 1415АВС, потом 13 EMBED Equation.3 1415РОN = 13 EMBED Equation.3 1415АВС. При этом получим 13 EMBED Equation.3 1415MON=13 EMBED Equation.3 1415МОК +13 EMBED Equation.3 1415КОР +13 EMBED Equation.3 1415РОN = 313 EMBED Equation.3 1415АВС.
4. Трисекция угла. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки). Любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой. Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла: 900, 450, 1350 (приложение 2). Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о.
5. Деление данного угла на 13 EMBED Equation.3 1415 равных углов. Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на 2, 4, 8, 2n равных углов. В каждом случае задача сводится к построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда циркулем и линейкой. Например, разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК 13 EMBED Equation.3 1415АВС, получаем 13 EMBED Equation.3 1415АВК= 13 EMBED Equation.3 1415СВК=13 EMBED Equation.3 1415АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов 13 EMBED Equation.3 1415АВК и 13 EMBED Equation.3 1415CDR соответственно. Получаем: 13 EMBED Equation.3 1415АВР=13 EMBED Equation.3 1415РВК= 13 EMBED Equation.3 1415МВК= 13 EMBED Equation.3 1415СВМ= 13 EMBED Equation.3 1415АВК:2= 13 EMBED Equation.3 1415АВС:4.
Возникает вопрос: Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, равных углов? Данная задача оказывается разрешимой при некоторых частных значениях угла. Например: циркулем и линейкой можно выполнить следующие построения (при условии, что заданные углы уже построены и их величина известна):
Задача 1: Построить углы, равные 660: 11=60, 500: 5=100. Для решения этих задач воспользуемся углом 600 – равносторонним треугольником. В первой задаче получаем 660–600 = 60, строим дважды по углу 60 (600–60–60 = 480), затем делим угол 480 на 13 EMBED Equation.3 1415 равных углов (т.е. проводим биссектрисы). Рассуждая также, получаем во второй задаче 1) 600–500 = 100, 2) 500–100= 400, 3) 400: 4=100;
Задача 2: Построить угол 530, если построен угол 1040. При решении используем построения прямого угла, биссектрисы угла и угла 600. Построение: 1) 1040–900=140, 2) 140: 2 = 70, 3) строим 600 и 600–70=530.
Вывод: рассматривая построения 4 и 5, задачи 1 и 2 всегда можно построить:
1) прямой угол, углы: 600, 300, 450, 150.
2) можно разделить некоторые заданные углы на данное количество равных углов или построить угол необходимой величины.
3) задачи 1, 2 или подобные им можно использовать на кружках, в олимпиадах или во внеклассных мероприятиях.

3. Задачи на построение циркулем и линейкой.
Анализ олимпиадных заданий для 7 класса, проводимых в городе Тольятти, и, предложенных для подготовки к олимпиадам в различных источниках, показал, что задачи на построение среди них отсутствуют. Предлагаю задачи, которые могут быть использованы для подготовки к олимпиаде по математике или для проведения олимпиад в 7 классе, так как дадут возможность ученикам показать не только свои знания геометрического материала, но и умение анализировать, логически мыслить и проявлять изобретательность в решении задач.
Задача 1: Постройте прямоугольный треугольник по  гипотенузе и углу между ней и проведенной к ней медианой. Сначала рассмотрим задачу: На отрезке AB как на диаметре построена окружность. Докажите, что из всех точек окружности, отличных от A и B, отрезок AB виден под прямым углом.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415АОС и 13 EMBED Equation.3 1415ВОС – равнобедренные, т.к. радиусы ОА=ОВ=ОС. 13 EMBED Equation.3 1415АОС и 13 EMBED Equation.3 1415СОВ смежные углы, тогда 13 EMBED Equation.3 1415СОВ = 1800 - 13 EMBED Equation.3 1415АОС. По свойству углов равнобедренного треугольника и по теореме о сумме углов треугольника получаем: 13 EMBED Equation.3 1415САО= 13 EMBED Equation.3 1415АСО= (1800–13 EMBED Equation.3 1415АОС): 2= 900 – 13 EMBED Equation.3 1415АОС :2, 13 EMBED Equation.3 1415ОВС= 13 EMBED Equation.3 1415ОСВ= (1800 – 13 EMBED Equation.3 1415СОВ) : 2 = (1800 – (1800 – 13 EMBED Equation.3 1415АОС)) : 2 = 13 EMBED Equation.3 1415АОС : 2. 13 EMBED Equation.3 1415АСВ = 13 EMBED Equation.3 1415АСО + 13 EMBED Equation.3 1415ОСВ =900 – 13 EMBED Equation.3 1415АОС: 2 + 13 EMBED Equation.3 1415АОС: 2 = 900. Вернемся к решению задачи.
Анализ: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415АВС (13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 900, ВС = а, АК – медиана, 13 EMBED Equation.3 1415АКС =13 EMBED Equation.3 1415) – искомый. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в К радиуса ВК, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 900 опирается на диаметр ВС (доказано в предыдущей задаче).
Построение: Строим ВС = а, К – середину ВС. Строим 13 EMBED Equation.3 1415МКС = 13 EMBED Equation.3 1415АКС = 13 EMBED Equation.3 1415. Строим А – точку пересечения луча КМ и окружности с центром в К радиуса ВК.
Доказательство: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415АВС– искомый, т.к. ВС = а , ВК=КС (по построению), 13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 900 (опирается на диаметр окружности), АК – медиана, 13 EMBED Equation.3 1415АКС =13 EMBED Equation.3 1415.
Исследование: Решение сводится к построению отрезка, равного данному, середины отрезка и угла, равного данному. Данные построения выполнимы всегда.

Задача 2: Дан угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла и серединой в этой точке.
Анализ: Дан 13 EMBED Equation.3 1415ЕАР и точка М внутри угла. Пусть ВС искомый отрезок, удовлетворяющий условиям задачи: ВМ=МС, В13 EMBED Equation.3 1415АЕ, С13 EMBED Equation.3 1415АР. Проведем АМ, откладываем на его продолжении отрезок МК=АМ. АМВ = КМС (по I признаку). У них: 13 EMBED Equation.3 1415ВМА= 13 EMBED Equation.3 1415КМС (вертикальные), АМ=МК, ВМ=МС. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415ВАМ= 13 EMBED Equation.3 1415МКС. Значит, построение ВС сводится к построению точки С на АР, т.е. к построению АК=2АМ и 13 EMBED Equation.3 1415МКС=13 EMBED Equation.3 1415ВАМ.
Построение: Проводим луч АМ, откладываем на его продолжении МК=АМ. Строим 13 EMBED Equation.3 1415МКС= 13 EMBED Equation.3 1415ЕАК. Получаем С на стороне АР 13 EMBED Equation.3 1415ЕАР. Проводим луч СМ, получаем В на луче АЕ. Отрезок ВС – искомый.
Доказательство: При построении получаем АМВ = КМС (по II признаку). У них: 13 EMBED Equation.3 1415ВМА= 13 EMBED Equation.3 1415КМС (вертикальные), АМ=МК (по построению), 13 EMBED Equation.3 1415ВАМ= 13 EMBED Equation.3 1415МКС (по построению). Следовательно, ВМ=МС. Получаем ВС – искомый отрезок.
Исследование: Построение выполнимо всегда, т.к. сводится к построению отрезка, равного данному, и угла, равного данному.

Задача 3. Дана прямая, на которой лежит биссектриса угла A треугольника ABC. По разные стороны от этой прямой даны две точки – основания: а) медиан; б) высот, проведенных из вершин B и C. Восстановите треугольник ABC.
Анализ: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415АВС (луч АО – биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415А, медианы СN, ВМ) – искомый. Проведу ММ1||АО и NN1||АО. 13 EMBED Equation.3 1415АКМ= 13 EMBED Equation.3 1415АКМ1 (13 EMBED Equation.3 1415АРN= 13 EMBED Equation.3 1415АРN1) (по II признаку). У них: 1) АК (АР) – общая, 2) 13 EMBED Equation.3 1415АКМ= 13 EMBED Equation.3 1415АКМ1=900 (13 EMBED Equation.3 1415АРN= 13 EMBED Equation.3 1415АРN1=900), 3) 13 EMBED Equation.3 1415КАМ= 13 EMBED Equation.3 1415КАМ1 – АО биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415А. Получаю, что точки М, М1 лежат на АС, N, N1 лежат на АВ и находятся на одном расстоянии от АО. Аналогично, если точки N, М – основания высот.
Построение: Строю МК13 EMBED Equation.3 1415АО и NР13 EMBED Equation.3 1415АО. Откладываю КМ1=КМ и РN1=РN. Провожу прямые МN1 иNМ1, получаю А на пересечении АО, МN1 иNМ1. а) Откладываю МС=АМ и NВ=АN. б) Строю МВ13 EMBED Equation.3 1415АМ (В – точка пересечения МВ и АВ), NС13 EMBED Equation.3 1415NА (С – точка пересечения NВ и АМ). Провожу ВС. 13 EMBED Equation.3 1415АВС построен.
а) б)

Доказательство: В обоих случаях мы получаем: точки М и М1 лежат на АС, N и N1 лежат на АВ. 13 EMBED Equation.3 1415АКМ= 13 EMBED Equation.3 1415АКМ1 (по I признаку). У них: 1) АК – общая, 2) 13 EMBED Equation.3 1415АКМ= 13 EMBED Equation.3 1415АКМ1=900, 3) КМ= КМ1 – по построению.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415КАМ= 13 EMBED Equation.3 1415КАМ1 13 EMBED Equation.3 1415 АО биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415А. а) точки N, М – основания медиан, т.к. по построению МС=АМ и NВ=АN. б) точки N, М – основания высот, т.к. по построению МВ13 EMBED Equation.3 1415АМ, NС13 EMBED Equation.3 1415NА.
Исследование: задача не имеет решения, если точки N, М находятся на одном расстоянии от АО. При этом МN1||AO, NМ1||AO13 EMBED Equation.3 1415МN1||NМ113 EMBED Equation.3 1415точку А построить невозможно.
В следующих задачах приведем только анализ или/и построение.

Задача 4: Постройте треугольник по трем медианам.
Анализ: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415АВС (медианы СN = р, ВМ = n, АК = m) – искомый. Строим 13 EMBED Equation.3 1415АCP= 13 EMBED Equation.3 1415АВС: АР=ВС, РС=АВ, ОС=АК=m. Проводим NО. NO – средняя линия 13 EMBED Equation.3 1415ABP13 EMBED Equation.3 1415 NO= ВР:2= ВМ (по свойству средней линии треугольника). Получаем 13 EMBED Equation.3 1415NOC: СN = р, NO = n, ОС = m. На луче ON отложим NS=NO. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415ВNS= 13 EMBED Equation.3 1415АNO по I признаку. У них: 13 EMBED Equation.3 1415ВNS= 13 EMBED Equation.3 1415АNO как вертикальные, NS=NO по построению, АN=NВ (NС – медиана). Значит, SВ= ВК= КС= СS:3.
Построение: Строим 13 EMBED Equation.3 1415NOC: СN = р, NO = n, ОС = m. На луче ON отложим NS=NO. Проводим СS, строим точку В: 13 EMBED Equation.3 1415. Проводим луч ВN, откладываем АN= ВN. 13 EMBED Equation.3 1415АВС – искомый.

Задача 5. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов 13 EMBED Equation.3 1415.
Анализ: Пусть 13 QUOTE 1415АВС (13 EMBED Equation.3 1415А=900) построен. На луче ВА отложим отрезок AD = AC. Получим 13 QUOTE 1415АDС – равнобедренный, в котором 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415 (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению 13 QUOTE 1415ВСD по двум сторонам BD = b+c, ВС = а и 13 EMBED Equation.3 1415D=450. Чтобы получить точку А, достаточно провести СА13 QUOTE 1415DВ.

Задача 6. Постройте треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон.
Анализ: Пусть 13 QUOTE 1415АВС – искомый. На продолжении ВА отложу AD=CA. Соединю C и D. В 13 QUOTE 1415CBD имею: BD = b+c, BC = a, 13 QUOTE 1415СBD = 13 QUOTE 1415B. 13 QUOTE 1415CBD можно построить по двум сторонам и углу между ними. 13 QUOTE 1415CAD – равнобедренный: АН – высота, медиана. Проведя серединный перпендикуляр АН13 QUOTE 1415CD, определю вершину А.

Задача 7. Постройте треугольник по двум углам и периметру.
Анализ: Пусть13 QUOTE 1415АВС – искомый. На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложу отрезки DA = АС и ВЕ = СВ и соединю D с С и Е с С, получу 13 QUOTE 1415DCE, в котором DE = Р. Треугольники DAC и ВЕС – равнобедренные, и АК13 QUOTE 1415DC, где DK = KC и BF13 QUOTE 1415FE, что позволит определить вершины А и В. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415 (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению 13 QUOTE 1415DCE по стороне DE=Р и 13 EMBED Equation.3 1415D, 13 EMBED Equation.3 1415E.


Список литературы:
Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. - 335 с.
Гусев В.А., Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии для 7 класса. М.: Просвещение, 1991. – 80с.
Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. - 78 с.
Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа - пресс, 1997. - 172 с.
Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.
Олимпиадные задания по математике. 5–8класс/авт.-сост. С.П. Ковалева.–Волгоград: Учитель, 2007.–88с.
Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992
Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука, 1992. 80 с.
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. коллегия: М.Аксенова, В.Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.
Коренева В.Е. Решение задач на построение методом спрямления. Математика в школе.1995г. №5
Клименченко С.В., Цикунова Т.Д. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. Математика в школе. 1990г. №1
Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии. Математика в школе. 2002г. №9
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

Приложение 1








рис. 1.1 рис. 1.2













рис. 2

Приложение 2
Задача: Трисекция прямого угла.
Пусть требуется разделить на три равные части прямой 13 EMBED Equation.3 1415MAN. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний 13 EMBED Equation.3 1415AКB. Так как 13 EMBED Equation.3 1415КAB равен 600, то 13 EMBED Equation.3 1415МАВ= 300. Построим биссектрису 13 EMBED Equation.3 1415КАВ, получаем искомое деление прямого 13 EMBED Equation.3 1415MAN на три равных угла.
Задача: Трисекция угла в 450.
Решение данной задачи сводится к построению равностороннего треугольника. Пусть требуется разделить на три равные части 13 EMBED Equation.3 1415MAN=45о. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний 13 EMBED Equation.3 1415AКB в одной полуплоскости с точкой М относительно прямой АК. Строим биссектрису АР угла КАВ, затем биссектрису АС угла РАК и получаем искомое деление угла MAN на три равных угла 13 EMBED Equation.3 1415МАР=13 EMBED Equation.3 1415РАС=13 EMBED Equation.3 1415САК=15о.
Доказательство: Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415АКВ – равносторонний, то 13 EMBED Equation.3 1415КАВ=60о. АР – биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415КАВ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415ВАР= 13 EMBED Equation.3 1415РАК=30о и 13 EMBED Equation.3 1415МАР= 13 EMBED Equation.3 1415МАК– 13 EMBED Equation.3 1415РАК =45о – 30о=15о. АС – биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415РАК 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415РАС= 13 EMBED Equation.3 1415САК=15о. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415МАР= 13 EMBED Equation.3 1415РАС= 13 EMBED Equation.3 1415САК=15о.
Задача: Трисекция угла в 1350.
Пусть требуется разделить на три равные части 13 EMBED Equation.3 1415MAN=135о. Т.к. 135о:3 = 45о, то из точки А строим перпендикуляр АК к прямой АМ. Затем строим биссектрису АР 13 EMBED Equation.3 1415КАМ. При этом получаем искомое деление угла MAN на три равных угла 13 EMBED Equation.3 1415КАN= 13 EMBED Equation.3 1415КАР= 13 EMBED Equation.3 1415РАМ= 45о.
Доказательство: Т.к. АК – перпендикуляр к прямой АМ, то 13 EMBED Equation.3 1415КАМ=90о, 13 EMBED Equation.3 1415NАК= 135о–90о=450. АР – биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415КАМ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415ВАР= 13 EMBED Equation.3 1415РАК=45о. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415МАР= 13 EMBED Equation.3 1415РАС= 13 EMBED Equation.3 1415САК= 45о.








13PAGE 15







Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

Добавить комментарий