Образовательный материал


Решение текстовых задач с использованием шаблонов в виде таблиц значений.
Тузова Антонина Ивановна. Сош №16, г. Кропоткин, Краснодарского края.
[email protected]Аннотация: текстовые задачи заняли прочное место в КИМах ЕГЭ и ГИА.
Причем они решаются как тесты и решаются подробно во второй части ГИА. Часто бывают замысловатыми и не всякому ученику удаётся их решить. Времени не хватает. Поэтому учу ребят решать задачи сжато с помощью таблиц. Видно по печати, что многие учителя поступают так же.
Уже с начальной школы, дети умеют выписывать данные к задачам в виде таблиц. Это задачи на движение и на стоимость. Главное, не отучить их от этого, что мы благополучно делаем, начиная решать задачи с помощью уравнения. А ведь по таблице и уравнение составить легче. Все данные разложены по полочкам, легко просматриваются и сравниваются. Хорошие ученики сразу стали использовать этот приём. Посмотрим на примерах.
Шаблон для решения задач на равномерное движение.
Скорость Время Время
Первый V1 t 1 = S1v1S1 = v1 t1
Второй V2 t 2 = S2v2S2 = v2 t2
Если, к примеру, S1 = S2, то v1 t1= v2 t2.
Если, t 1> t 2 , на р, то S1v1- S2v2 = р.
Задача. Из города А в город В выехал мотоцикл, скорость которого 50 км/ч. Спустя 30минут вслед за ним выехал автомобиль, двигаясь со скоростью 70 км/ч, а ещё через 30 минут в том же направлении выехал второй автомобиль, который сначала догнал мотоцикл, а через10минут после этого догнал первый автомобиль. Найти скорость второго автомобиля.
Решение. Составим таблицу значений.
Скорость Время Время
Мотоциклист 50 км. (t + 1) встреча со 2 авт. S1 = 50(t + 1)км
Первый 70 км. (t - 0.5 + 1 6 ) встреча со 2 авт. S2 =70(t- 1 6)= v2(t+1 6)
Второй V2 t (встреча с мот). S1 = v2 t
Из второго столбца имеем:
v2 = 50(t + 1) t=70(t- 1 6)(t+1 6) . Решив уравнение, получим t = 1. То есть второй автомобиль до встречи с мотоциклом ехал один час и проехал
50 1+1=100 км. Ответ: 100км.
Шаблон для решения задач на движение по реке.
Скорость время Расстояние
Собств. скорость. v Скорость теч. реки. v т. р. По течению vпо т. р. = v+ v т. р. t1 =S1v+ v т. р.S1
Против течения vпр т. р. = v- v т. р t2 = S2v- v т. р.S2
Если t1= t2, то S1v+ v т. р.=S2v- v т. р. .
Если t1> t2 на а, то S1v+ v т. р.- S2v- v т. р. = а
Рассмотрим задачу 1.
От причала отплыла лодка. Проплыв некоторое расстояние, лодка вернулась назад, затратив на всю дорогу 12 часов. Через 7 часов после начала движения
лодка была на расстоянии 140 км от первоначального пункта. Найти расстояние, которое лодка проплыла в одну сторону, если скорость течения реки равна 5 км/ч, а против течения лодка плыла более 7 часов.
Решение.
Заполним таблицу данных.
Скорость время Расстояние
Собств. скорость. V = х Скорость теч. реки. v т. р. = 5 По течению vпо т. р. = х+ 5 t S1 = (х+ 5)∙ t =
30 t
Против течения vпр т. р. = х – 5 = 1407 = 20;
12 - t S2=(х - 5)∙(12–t)= =20× (12–t)
Из первого столбца находим:
V = Х = 25км/ч, vпо т. р. = х+ 5 =25 + 5 = 30км/ч.
Так как S1 = S2, то 30 t =20× (12–t), t =4.8 ч, 12 – t = 7.2ч. Отсюда S1 = S2,=20 ∙ 7.2 = 144км.
Ответ: 144км.
Задача 2. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с этим из пункта В в пункт А вышел катер, собственная скорость которого в шесть раз больше скорости течения реки. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл обратно. Какую часть расстояния от пункта А до пункта В останется проплыть плоту к тому моменту, когда катер вернётся в пункт В.
Решение. Составим таблицу значений.
Скорость Время ( до встречи) Расстояние
Собств. скорость. v= 6х км/ч. Скорость теч. реки (плота). v т. р. =х км/ч. t ч х ∙ t км ( до встречи)
По течению (катер) vпо т. р. =(6х + х)км/ч. t =5х ∙ t7х =5 ∙ t7ч S1 = 5 х ∙ t км (обратно)
Против течения (катер) vпр т. р. =(6х - х) км/ч t ч S2 =5 х ∙ t км (до встречи)
Из последнего столбца видим, что плоту плыть ещё 5 ∙ t7ч со скоростью
х км/ч. Значит он проплывёт ещё 5 ∙ хt7 км, а останется 6 х ∙ t - 5 ∙ хt7 =307х ∙ t км. Найдём отношение 307х ∙ t÷(6 х ∙ t) = 5 7 . Ответ: 5 7
Шаблон для решения задач на процентные соотношения.
Масса или объём компонентов смеси, сплава или раствора Процентное содержание чистого вещества Чистое вещество
Первый раствор х Р% = р100 р100х
Второй раствор у К% = к100к100уНовый раствор Х + у е% = е100е100(х+у)Уравнение: р100х + к100у = е100(х+у).
Рассмотрим примеры:
Задача 1. Виноград содержит 91% влаги, а изюм - 7%. Сколько винограда надо взять, чтобы получить 21 кг изюма.
Решение. Составим таблицу данных.
масса % содержание сухого в-ва Масса сухого вещества
Виноград Х кг 100%-91%=9%=0.09 0.09х кг
Изюм 21 кг 100%- 7% = 93%=0.93 21∙0.93 кг
Имеем уравнение: 0.09х = 21∙0.93, х = 217. Ответ: 217 кг.
Задача 2. Имеется 35г 16% раствора йода в спирте. Сколько граммов спирта надо прибавить к этому раствору, чтобы получить 10% раствор йода?
Решение. Составим таблицу данных.
масса % содержание йода Масса йода
Данный р-р 735 г 16% = 0.16 0.16∙735 г
Спирт Х г О% О г
Полученный р-р (735 + х) г 10% = 0.1 0.1∙(735 +х) г
Так как масса йода в первоначальном растворе равна массе йода в полученном растворе, то имеем уравнение
0.1∙(735 +х) = 0.1∙(735 +х), х = 441 г. Ответ: 441грамм.
РАБОТА ВРЕМЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
Первый (работая один) А t1 Аt1Второй (работая один) А t2 Аt2
Совместная работа А t=t1×t2А(t1+t2)At = Аt1+Аt2 = А(t1+t2)t1×t2
Рассмотрим решение нескольких задач с помощью уравнения, составленного на основе табличных данных.
Задача 1. Две бригады, работая вместе, могу выполнить некоторую работу за 12 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 10 часов быстрее, чем вторая. Сколько часов потребуется первой бригаде для выполнения этой же работы.
Решение.
Принимаем работу за 1. Заполняем таблицу данных, обозначив время работы первой бригады (отдельно) за t1.
РАБОТА ВРЕМЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
Первая (одна) 1 t1 1t1Вторая (одна) 1 10+t1 110+t1
Совместная работа 1 12112Имеем математическую модель реальной ситуации:
1t1+110+t1=112 , или 1t1+110+t1×12=1. Решив уравнение, получим:
t1 =20.
Ответ:20часов.
Задача 2. Два каменщика выполнили работу за 14 дней, причём второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому каменщику на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить стену каждый каменщик, работая отдельно.
Решение. По шаблону заполняем таблицу, внимательно вчитываясь в текст задачи и, принимая во внимание тот факт, что надо найти время выполнения этого задания каждым, работая отдельно. Работу удобно принять за 1.
РАБОТА ВРЕМЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
Первый (один) 1 t1=6 +t2 1t1=16+t2Второй (один) 1 t2 1t2
Совместная работа 1-36+t214-3=11 1t1+1t2=1t2+16+t2Имеем следующие математические модели реальной ситуации:16+t2+1 t2 = (1-36+t2):11 , или другая: 14×16+t2+11×1t2 =1
Из любого уравнения находим время t2 работы второго каменщика, затем и время работы первого t1=6 +t2
Ответ: 9 часов и 3 часа.
Задача 3 . Двумя трубами бассейн наполняется за 2,5 часа. Если бы пропускная способность первой трубы была на 25% больше, а второй – на 25% меньше, то первая труба наполнила бы бассейн на 2 часа 40 минут быстрее второй. За какое время наполняет бассейн одна первая труба.
Решение. Принимаем работу по наполнению бассейна за единицу. Составляем таблицу значений.
РАБОТА ВРЕМЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
Первая (одна)
по плану 1 t1 1t1Вторая (одна)
по плану 1 5t12t1-5=t2 1t2 =25 - 1t1=2t1-55t1Совместная работа по плану 1 2,5 12,5=25Первый (один)
при новых условиях
1 4t25=4∙5t12t1-55 =4t12t1-5 1t2 +25100∙1t2=54t2Второй (один)
при новых условиях
1 4t13
1t1-25100∙1t1=34t1Так как первая труба, работая в новом режиме, выполняет работу на 2 часа 40 минут быстрее, то
4t12t1-5 меньшечем 4t13 на 83.
Имеем математическую модель: 4t13 -4t12t1-5 = 83.
Решая уравнение, получим два корня: t1 =1 и t1= 5. Но t1≠1, так как в этом случае t2‹0.
Ответ: за 5 часов.

Приложенные файлы


Добавить комментарий