Образовательный материал

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Основная общеобразовательная школа №28»




Тема: « Уравнения»
(элективный курс для 9 класса)




Автор: Фомина Анна Юрьевна

Предмет алгебра






Миасский городской округ
2010 год

Пояснительная записка

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым.
Л. Карно


Понятие «уравнение» – одно из фундаментальных понятий школьного курса математики. Умение решать уравнения различных видов позволяет обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры.
Задачи обучения и воспитания в школе направлены на формирование у обучающихся умения самостоятельно действовать, получать знания, осмысливать и оценивать их.
Педагогическая целесообразность программы в том, что регулярные занятия позволят привлечь к предмету математики не только одаренных, успевающих обучающихся, но и учеников, у которых математика на уроках не вызывает большого интереса.
Главное – на этих занятиях учащимся не надо зацикливаться на решении уравнений, задач, неравенств, что обычно бывает на уроках математики. На занятиях данного курса учащиеся не получают отметки, а только новую, интересную информацию, которую на 50% добывают сами в результате исследовательской деятельности. Они начинают более широко и глобально мыслить, учатся анализировать, сравнивать, применять знания в практической жизни.

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.
Математическое образование имеет две стороны своего назначения практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и эстетическая, позволяющая рассмотреть с помощью математики всю красоту природных процессов и явлений.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.
Задачи обучения:
Обучающие задачи
учить способам поиска цели деятельности, её осознания и оформления;
учить быть критичными слушателями;
учить грамотной математической речи, умению обобщать и делать выводы;
учить добывать и грамотно обрабатывать информацию;
учить брать на себя ответственность за обогащение своих знаний, расширение способностей путем постановки краткосрочной цели и достижения решения.
изучать, исследовать и анализировать важные современные проблемы в современной науке;
демонстрировать высокий уровень над предметных умений;
достигать более высоких показателей в основной учебе;
синтезировать знания.

Развивающие задачи
- повысить интерес к математике;
- развивать мышление в ходе усвоения таких приемов мыслительной деятельности как умение анализировать, сравнивать, синтезировать, обобщать, выделять главное, доказывать, опровергать;
- развивать навыки успешного самостоятельного решения проблемы;
- развивать эмоциональную отзывчивость
- развивать умение быстрого счёта, быстрой реакции.

Воспитательные задачи
- воспитать активность, самостоятельность, ответственность, культуру общения;
- воспитать эстетическую, графическую культуру, культуру речи;
- формировать мировоззрение учащихся, логическую и эвристическую составляющие мышления, алгоритмического мышления;
развить пространственное воображение;
- формировать умения строить математические модели реальных явлений, анализировать построенные модели, исследовать явления по заданным моделям, применять математические методы к анализу процессов и прогнозированию их протекания;
- воспитать трудолюбие;
- формировать систему нравственных межличностных отношений;
- формировать доброе отношение друг к другу.

Цели курса:
- развитие математических способностей: логически мыслить, умения
анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных приёмов решения уравнений и систем уравнений;
- преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.

Задачи курса:
- обобщить понятия: «уравнение», «система уравнений»;
- систематизировать основные приёмы решения уравнений, систем уравнений и научиться применять их в нестандартных ситуациях;
- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;
- совершенствовать навыки самоконтроля.
При проведении занятий по курсу на первое место выйдут следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная; методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги.
Данный курс поможет ученику основательно подготовиться к итоговой аттестации и осознанно выбрать профиль обучения в старшей школе. Освоение элективного курса завершается двумя видами итогового контроля: тестирование и контрольная работа. В данной программе представлены приложения в виде теоретических, практических и контрольно-измерительных материалов, а так же предложен комплект опорных схем по изучаемым темам, который рекомендуется использовать учащимся в индивидуальной работе. В «Приложении» учитель найдет достаточно широкий набор заданий к каждому занятию и, опираясь на уровень подготовленности учащихся, сможет выбрать для работы задания разной степени сложности.
Содержание курса:
Курс содержит: вводное занятие, 2 основных блока, итоговые занятия.
Вводное занятие (1 час) предназначено для знакомства учащихся с целями и задачами данного элективного курса, организацией занятий, требованиями к усвоению курса.
Блок I (22 часа) предполагает обобщить знания учащихся по решению уравнений (линейных, квадратных, рациональных, иррациональных, дробно-рациональных) аналитическим и графическим способами.
Блок II (7 часов) предназначен для повторения и обобщения способов решения систем уравнений различных видов.
По всем темам блоков I-II предполагается отработка алгоритмов решения на заданиях продвинутого уровня.
На заключительных занятиях (3 часа) предусматривается проведение итоговой диагностики (тест, контрольная работа, анкетирование).
Примерное распределение часов по темам (34 часа).
№ блока
№ темы
Тема занятия
Количество
часов



Вводное занятие
1

I
1.
2.
3.
4.

5.

6.
7.
8.
Устный счёт.
Решение линейных уравнений.
Решение квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений по теореме Виета
Решение рациональных, дробно-рациональных и иррациональных уравнений.
Биквадратные уравнения.
Возвратные уравнения.
Метод введений новых переменных.
3
2
4
3

6

2
2
1

II
9.
Решение систем уравнений.
7


10.
Заключительные занятия.
3

Итого: 34 часа.
Методические рекомендации.
После освоения курса учащийся должен иметь представление о том, что реальные жизненные задачи решаются с помощью математического моделирования.
Учащийся должен знать:
- понятия «уравнение», «система уравнений»,
- виды уравнений и систем уравнений,
- методы решения уравнений и систем.
Учащийся должен уметь:
- различать виды уравнений,
- решать уравнения рациональным методом,
- выбирать и записывать ответ.
Учащийся должен владеть:
- анализом и самоконтролем,
- способами решения уравнений и систем уравнений,
- методами исследования ситуаций, в которых результат принимает те или иные формы.
Программа элективного курса «Уравнения» считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил все виды промежуточного контроля базового уровня, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий. При подготовке к проведению занятий по каждой теме учитель может воспользоваться приведённым ниже теоретическим и дидактическим материалом, а также может видоизменять или дополнять его.
Примерное планирование занятий элективного курса.
Вводное занятие: 1) знакомство с целями и задачами курса;
2) вводная диагностика для определения уровня готовности
учащихся к усвоению курса;
3) анализ результатов диагностики.
ТЕМА 1.
ЗАНЯТИЯ 1,2,3. Рассматриваются решение устных примеров и квадратных уравнений.
ТЕМА 2.
ЗАНЯТИЯ 1, 2. Рассматриваются линейные уравнения, их свойства, виды, способы решений.
ТЕМА 3.
ЗАНЯТИЯ 1,2,3. Рассматриваются квадратные уравнения общего вида, квадратные уравнения с четным коэффициентом, неполные квадратные уравнения, приведенные квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным.
ЗАНЯТИЕ 4. Итоговый урок по теме «Квадратные уравнения». Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы или в форме теста.
ТЕМА 4.
ЗАНЯТИЯ 1,2,3. Рассматриваются квадратные уравнения по теореме Виета. Решение квадратных уравнений по теореме Виета. Промежуточный контроль.
ТЕМА 5.
ЗАНЯТИЯ 1,2,3,4. Рассматриваются рациональные и дробно-рациональные уравнения. Проводится промежуточный контроль (тест).
ЗАНЯТИЕ5,6. Рассматриваются иррациональные уравнения.
ТЕМА 6.
ЗАНЯТИЕ 1,2. Рассматриваются биквадратные уравнения. Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы.
ТЕМА 7.
ЗАНЯТИЕ 1,2. Рассматриваются возвратные уравнения. Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы.
ТЕМА 8.
ЗАНЯТИЕ 1. Рассматривается метод введений переменных. Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы.
ТЕМА 9.
ЗАНЯТИЕ 1. Выполняется входной контроль по теме «Решение систем уравнений». Рассматриваются различные способы решения систем уравнений.
ЗАНЯТИЕ 2,3. Отработка практических навыков решения систем, содержащих уравнения II степени.
ЗАНЯТИЕ 4,5. Рассматривается решение систем уравнений с помощью введения новой переменной.
ЗАНЯТИЕ 6. Рассматриваются различные способы решения систем уравнений в нестандартных ситуациях.
ЗАНЯТИЕ 7. Итоговый контроль по теме «Решение систем уравнений».
ТЕМА 10. Заключительные занятия по всем темам элективного курса. В «Приложении» учителю предлагаются 2 вида итогового контроля: тестирование и традиционная контрольная работа. Учитель может выбрать как один из них, так и провести оба вида контроля.
ЗАНЯТИЕ 1. Проводится итоговый контроль уровня усвоения тем «Решение уравнений» и «Решение систем уравнений» (контрольная работа).
ЗАНЯТИЕ 2 (заключительное). Проводится итоговый тест по теме «Решение уравнений и систем уравнений», подводятся итоги изучения элективного курса «Уравнения»; проводится анкетирование учащихся для определения полезности данного элективного курса при подготовке к экзамену и при выборе профиля обучения в старшей школе.















Литература:
Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений/ Алимов Ш.А. и др.-М.: Просвещение, 2002.
Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений/ Алимов
Ш.А. и др.- М.: Просвещение, 2002.
Алтынов П.И.. Алгебра. Тесты. 7-9 классы: учебно-методическое пособие. – Издание пятое, стереотипное.- М.: Дрофа, 2001.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Алгебра. Функция.
Анализ данных.9 кл.: учебник для общеобразовательных учебных
заведений. Под ред. Дорофеева Г.В. - М.: Просвещение, 2005.
Математика в таблицах и схемах. Автор-составитель Калбергенов Г.Е.- М.: Лист, 2001.
Карп А.П., Евстафьева Л.П. Математика. 9 кл.: дидактические материалы к учебнику «Математика, алгебра, функции, анализ данных» под ред. Дорофеева Г.В. - М.: Просвещение, 2005.
Кочагин В.В., Кочагина М.Н. Алгебра: 9 класс. Тестовые задания к основным учебникам: рабочая тетрадь. – М.: Эксмо, 2007.
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс/ Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. – М.: Дрофа, 2006.
Алгебра 9 класс. Предпрофильная подготовка. Итоговая аттестация – 2006. Под ред. Лысенко С.Ф. -Ростов - на – Дону: Легион, 2005.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. Под ред. Дорофеева Г.В.- 5-е издание. М.: Просвещение, 2003.
Певнева А.К. Сборник задач по математике на базе основной общеобразовательной школы. – Омск: ФГОУ СПО ОАК, 2006.
15.Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С. Сборник элективных курсов. Математика 8 – 9. – Волгоград: Учитель, 2006г.

Приложение
Вводное занятие
Цель занятия : - повторить, обобщить и систематизировать теоретические
положения по решению уравнений;
- провести входную диагностику учащихся для определения
уровня готовности учащихся к усвоению курса;
- анализ результатов диагностики.

Входная диагностика по теме «Уравнения»
1. Из перечисленных математических выражений выбрать уравнения:
1) 6х-4>0, 2)4=3x, 3) 12x2-6x+1,
4) 9-3x=4x2 , 5) 13 EMBED Equation.3 1415, 6) 13 EMBED Equation.3 1415.
а) 1,3 б) 3,6 в) 4 г) 2,4
2. Из перечисленных чисел выбрать корни уравнения 3х (х-5)=42.
а) 2 б) -2 в) 3 г) -3.
3. Корнем, какого уравнения является число х=1,5:
а) 2х-4=5, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) х2-4х+1=0, г) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Решить уравнение 3х-4=5х-10.
а) -1,75 б) -3 в) 3 г) 1,75
5. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
а) – 1,1 б) 14,5 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) -14,5
6. Решить уравнение х2-8х+15=0.
а) 3 и 5 б) -3 и -5 в) -5; 3 г) -3 и 5
7. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
а) 0 и 1 б) 1 в) 1 и -1 г) 0
8. Решить уравнение х4-17х2+16=0.
а) 4 и 1 б) -4 и -1 в) ±1; ±4. г) корней нет

Ключ ответов:
1
2
3
4
5
6
7
8

г
б
г
в
б
а
б
в





ТЕМА 1 . Устные упражнения.
Умножение на 11.

Для умножения числа на 11, нужно цифры этого числа раздвинуть, а в середину записать их сумму. Например: 23*11=253 .
43625*11=479875, составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 (десятки), 6+2=8 (сотни), 6+3=9 (тысячи), 4+3=7 (десятки тысяч) и 4 сотни тысяч. Способ умножения на 11 можно применять и тогда, когда имеем множитель 1,1; 0,11; 0,011; 110 и т.п., не забывая при этом соответственно увеличить или уменьшить предварительный результат в 10 раз, в 100 раз и т.п.

Полезно показать детям хорошо известный ещё древним индейцам способ умножения под поэтическим названием
2. «Воздушный счет»
96 4 58 42 78 22
98 2 99 1 89 11
94 08 57 42 69 42
Допустим, надо умножить 96 на 98. Дополнения до 100 – соответственно 4 и 2. Отнимем от первого сомножителя дополнение до второго (96 –2=94) или от второго сомножителя дополнение первого (98-4=94). И в том, и в другом случае получим 94. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4*2==8) 08 – это последние цифры произведения. Итак, 96*98=9408


3.Умножение двузначных чисел. (Способ «крестиком»)
Этот способ умножения отличается необычной для учащегося записью. В способе «крестиком» обращается внимание исключительно на результат умножения. Схематически умножение по этому способу можно записать следующим образом:
4 5
3 8 умножаем единицы обоих чисел (8*5), полученное произведение подписываем под чертой. От умножения десятков на десятки (4*3) получим сотни, приписываем это число слева к записанному произведению единиц. От умножения единиц на десятки (4*8) и десятков на единицы (3*5) получим десятки, подпишем их под десятками. Наконец, производим сложение и получаем ответ 1710.
4 5
3 8
12 40
3 2
1 5
17 10
4. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
При изучении десятичных дробей рассматриваем эти же приёмы для десятичных дробей. Примеры, на использование этих приёмов можно давать почти на каждом уроке, пока дети хорошо их не усвоят. После изучения формул сокращенного умножения необходимо разъяснить ребятам эти приёмы.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 число сотен искомого квадрата;
25 – две последние цифры.
НАПРИМЕР: 352= 1225 (3*4=12) 3,52= 12,25
852=7225 (8*9=72) 8,52=72,25
5. Возведение в квадрат.
13 EMBED Equation.3 1415
НАПРИМЕР: 472= 2209 Пояснения:
13 EMBED Equation.3 1415
5'. Возведение в квадрат.
13 EMBED Equation.3 1415
6. Умножение двузначных чисел
13 EMBED Equation.3 1415Например: 38*42=1596
Пояснения:
1) 8*2=16; шесть пишем и один запоминаем;
2) 8*4=32;
3*2=6; 32+6=38; 38+1=39; девять пишем и три запоминаем;
3) 3*4=12; 12+3=15; записываем 15.

7. Извлечение квадратного корня из полных квадратов.
12= 1; 22= 4; 32= 9; 42=16; 52=25;
92=81; 82=64; 72=49; 62=36
Итак, полный квадрат может оканчиваться только цифрами: 1;4;6;9 и 5.
НАПРИМЕР:
13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, из 1 и 9 на конце берём 9
8. Извлечение кубического корня.
1і=1, 4і=64, 5і=125, 6і=216, 9і=729; Значит, кубический корень из числа, на конце которого цифры 1,4,5,6,9 имеют число единиц также 1,4,5,6,9.
2і=8, 3і=27, 7і=343, 8і=512, значит, кубический корень из числа, на конце которого 2,3,7,8 имеет число единиц, дополняющее эти цифры до 10, т.е. 8,7,3,2.
НАПРИМЕР:
13 EMBED Equation.3 1415
Все эти приёмы устных вычислений способствуют вызвать мотивацию к предмету. Только там, где разум и чувства в союзе, осуществляется глубокое понимание.

Приёмы устных решений квадратных уравнений.
Приёмы устных решений квадратных уравнений обязательно надо показать учащимся, т. к. они позволяют значительно сократить время при решении уравнений.
Итак, ахІ+вх+с=0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если в уравнении можно изменить знак перед одним из коэффициентов таким образом, чтобы получить сумму коэффициентов равной нулю, то корни уравнения изменят свой знак на противоположный.
НАПРИМЕР:
13 EMBED Equation.3 1415
В большинстве квадратных уравнений (школьной программы) корни находятся без особого труда подбором, основанном на теореме, обратной теореме Виета. Но этот способ становится практически неприменяемым, если уравнение имеет дробные корни. Так как не просто подобрать два числа, сумма которых равна - 13 EMBED Equation.3 1415, а произведение 13 EMBED Equation.3 1415.
Для преодоления возникающей трудности надо использовать известный прием, позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения. Рассмотрим этот случай:

13 EMBED Equation.3 1415
Остановимся на этом приёме более подробно. Пусть требуется решить квадратное уравнение ахІ+вх+с=0 (для него 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415)
Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь видно, что для решения исходного уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 и его корни разделить на а. Для практического применения этого приёма формулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент а в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить на а.
НАПРИМЕР: 1. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

В дальнейшем, по мере накопления учащимися опыта в применении указанного приёма можно отказаться от выписывания вспомогательного уравнения и проводить следующие «мысленные» рассуждения: «Чтобы решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, надо подобрать два числа, сумма которых - 11, а произведение – 18. Эти числа 2 и 9, значит корни данного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.


ТЕМА 2. Решение линейных уравнений.
Занятия 1-2.
Цель занятия: обобщить, систематизировать и несколько расширить знания учащихся об уравнениях первой степени.
Ход занятия:
I .Теоретический материал.
Уравнения – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую–то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.
Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, в данное время было основным предметом изучения алгебры. Привычная для нас буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита, буквами x, y, z,, а известные величины (параметры) первыми буквами латинского алфавита – a, b, c,.. идет от французского ученого Р. Декарта.
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение ax = b, где a и b заданные числа, x – неизвестное. Такое уравнение называют линейным.
Примеры: 3x – 4 = 5; 2x + 8 = 3x – 4; (x + 4):2 = 3.
Решить уравнение с одним неизвестным – значит найти все те значения неизвестного, при которых уравнение обращается в верное равенство.
Все такие значения неизвестного называются его корнями или решениями.
Уравнение может иметь единственный корень, например: 3х – 7 = 29 - 6х.
Уравнение может иметь несколько корней, например, уравнение
(х -1)(х -2)(х–5)=0 имеет три корня: х13 EMBED Equation.3 1415= 2; х13 EMBED Equation.3 1415=2; х13 EMBED Equation.3 1415= 5.
Уравнение может совсем не иметь корней, например, уравнение
х + 5 = х + 1.
Уравнение может иметь бесконечное множество решений, например
5 (х -3) + 2 = 3(х -4) + 2х – 1.
При решении линейных уравнений используются основные свойства уравнений.
Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Уравнения первой степени с одним неизвестным.
Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнения вида ах +в =0, где х – неизвестное число, а (коэффициент при неизвестном) – любое данное число, не равное нулю, в (свободный член) – любое данное число.
Примеры уравнений первой степени с одним неизвестным:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Многие уравнения после некоторых преобразований приводятся к уравнению первой степени с одним неизвестным.
Приведем пример: 13 EMBED Equation.3 1415
Умножив обе части уравнения на 6, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Решив данное уравнение, получим корень 13 EMBED Equation.3 1415
В общем случае, уравнение первой степени с одним неизвестным имеет единственный корень.
II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
Задания для самостоятельного решения.
Решите уравнения: 1) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 1,5.
2) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 8. 3) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 0.
4) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
5) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
6) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 2.
7) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
8) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 5.
9) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х=0,5.
10) 13 EMBED Equation.3 1415 . Ответ: нет решения.
11) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
12) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: -39.
13) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 4.
14) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: -1.
15) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
16) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 5.
17) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х=7.
18) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 3.
19) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 1.
20) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 5.
III. Подведение итогов.

ТЕМА 3. Решение квадратных уравнений.
Занятие 1.
Квадратные уравнения.
Цели занятия: - повторить понятия «квадратное уравнение», «приведенное квадратное уравнение»;
- повторить и отработать решение уравнений методом выделения полного квадрата двучлена и решение квадратных уравнений пообщей формуле корней квадратного уравнения.
Ход занятия.
I. Теоретический материал Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 (1), в котором левая часть – многочлен второй степени относительно неизвестного, а правая – нуль, называется уравнением второй степени или квадратным.
В нормальном виде квадратное уравнение записывают так: 13 EMBED Equation.3 1415, где
а
·0, в и с – любые действительные числа, а х – неизвестное.
Если в уравнении а = 1, то уравнение называется приведенным.
Оно обычно записывается в таком виде: 13 EMBED Equation.3 1415, где p и q – любые числа.
Всякое уравнение вида (1) можно сделать приведённым; для этого достаточно все его члены разделить на a.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется дискриминантом квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415, а также дискриминантом уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
В зависимости от значения дискриминанта D возможны три случая:
D<0, то уравнение не имеет действительных корней.
D=0, то уравнение имеет единственное решение13 EMBED Equation.3 1415.
D>0, то уравнение имеет два корня: 13 EMBED Equation.3 1415
Практические советы
Если второй коэффициент b четный 13 EMBED Equation.3 1415, то для нахождения корней удобно пользоваться формулами: 13 EMBED Equation.3 1415
Старайтесь по возможности «работать» с квадратным трехчленом, у которого старший коэффициент а положителен. Этого всегда можно добиться при решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами. Если а=0, то уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 является линейным, 13 EMBED Equation.3 1415 (если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415)
II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
Задания для самостоятельного решения.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 2; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 8; 3.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 5; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 2; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 3; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 18; 15,8.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 1; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 1; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; -3.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 3; 1,4.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: -4; -2; -1; 1.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х=-1.
13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 0; 1; 3; 4.
III. Подведение итогов.
Занятие 2.
Неполные квадратные уравнения.
Цели занятия: - повторить определение неполного квадратного уравнения;
- повторить способы решения неполных квадратных уравнений.
Ход занятия.
Теоретический материал. Уравнение вида ах13 EMBED Equation.3 1415+вх=0.
Решим неполное квадратное уравнение ах13 EMBED Equation.3 1415+вх=0 в общем виде. Вынеся х за скобки, получим: х (ах+в)=0.
1) х13 EMBED Equation.3 1415 =0; 2) ах+в=0, откуда х13 EMBED Equation.3 1415=-13 EMBED Equation.3 1415.
В частности, если в=0, то получим: х13 EMBED Equation.3 1415=0, то есть уравнение имеет лишь один корень.
(Задание для учащихся: привести примеры 2-3 неполных квадратных уравнений данного вида и решить их).
Уравнения вида ах13 EMBED Equation.3 1415+с=0.
Перенесем свободный член с в правую часть и разделим уравнение на а; тогда получим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, равносильное данному.
Рассмотрим следующие возможные случаи.
Случай 1. Пусть а и с – одинакового знака (то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны); тогда 13 EMBED Equation.3 1415 есть положительное число, -13 EMBED Equation.3 1415 – отрицательное число. Но мы знаем, что х13 EMBED Equation.3 1415
·0, а потому не может равняться отрицательному числу; в этом случае уравнение не имеет решений.
Так, например, уравнение 2х13 EMBED Equation.3 1415+3=0 не имеет решений.
Случай 2. Пусть с=0. Тогда уравнение примет вид: х13 EMBED Equation.3 1415=0. Очевидно, что это равенство будет верным только при х=0. Значит, при с=0 уравнение имеет единственное решение х=0.
Случай 3. Числа а и с имеют противоположные знаки (одно из них положительно, а другое отрицательно). Тогда число 13 EMBED Equation.3 1415 отрицательно, а противоположное ему число - 13 EMBED Equation.3 1415 положительно.
В этом случае уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет два корня: 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, и исходное уравнение имеет два корня.
Примеры: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
Примеры для самостоятельного решения.
Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
А) нет корней; Б) 0 и- 4; В) 0 и 4; Г) 4 и -4.
Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415 А) 0 и 0,1; Б) нет корней; В) 0 и -0,1; Г) -0,1 и 0,1.
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415 А) 0 и 2; Б) -2 и 2; В) -2 и 0; Г) Ш.
Решите уравнения: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Подведение итогов.
Занятие 3.
Теорема Виета.
Цели занятия: - повторить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета;
- рассмотреть примеры применения теоремы Виета и теоремы,
обратной теореме Виета, для решения квадратных уравнений.
I. Теоретический материал. Теорема Виета. Если х1 и х2 – корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415=0, то справедливы формулы х1+х2=-р, 13 EMBED Equation.3 1415=q.
Для квадратного уравнения, заданного в общем виде, имеем:
х1+х2= -13 EMBED Equation.3 1415, х1х2=13 EMBED Equation.3 1415
Теорема, обратная теореме Виета. Если данные числа p,q,13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 таковы, что: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются корнями приведенного квадратного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415=0.
II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
Задания для самостоятельного решения.
При каких значениях n каждое из следующих уравнений не имеет действительных корней: а) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, г) 13 EMBED Equation.3 1415?
При каких значениях а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет один корень?
При каких значениях m только один из корней уравнения равен нулю: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415?
При каких значениях k каждое из следующих уравнений имеет два различных действительных корня: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415?
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
При каких значениях параметра а разность корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 равна их произведению?
Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 равна 1.
В уравнении 13 EMBED Equation.3 1415 определите а так, чтобы отношение корней равнялось 2.
В уравнении 13 EMBED Equation.3 1415 определите то значение с, при котором его корни 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415
В уравнении 13 EMBED Equation.3 1415 найдите 13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы один корень был квадратом другого.
Ответы:
1. а) n>8; б) |n|<8; в) |n|>0,25; г) |n|> 13 EMBED Equation.3 1415. 6. а=1; а=-13 EMBED Equation.3 1415.
2. а=1; а=0,2. 7. а=9; а=-3.
3. а) m=1,5; б) m=3. 8. а=13 EMBED Equation.3 1415.
4. а) k є (-
·;-1)U(3;+
·); б) k є (-
·;0)U(0;1). 9. а=-15.
5. х1=-1; х2=13 EMBED Equation.3 1415. 10. m=±13 EMBED Equation.3 1415.
III. Подведение итогов.
Занятие 4 (итоговое).
Цель занятия: проверка усвоения знаний по теме «Квадратные уравнения и способы их решения».
Ход занятия.
Итоговая проверочная работа по теме «Квадратные уравнения и
способы их решения».
Задания для проверочной работы учитель может выбрать из разделов «Задания для самостоятельного решения» или предложить учащимся выполнить следующий тест.
Тест по теме «Квадратные уравнения».
Какие из данных уравнений являются квадратными:
1) -7х2-13х4+8=0; 3) 13 EMBED Equation.3 1415х2 +4=0;
2) 17х+24=0; 4) 5х2+х3=17?
а) 4; б) 3; в) 1; г) 2.

Записать квадратное уравнение ах2+вх+с=0, если известны его коэффициенты: а=2, в=3, с=4:
3х2+3х+4=2; 3) 4х2+3х+2=0;
2х2+3х+4=0; 4) 2х2+4х+3=0.

Решить уравнения:
(х+2)(х-3)=0;
а) 2;-3; б) -2;-3; в) 3;-2; г) решений нет.
2) 2х2-18=0;
а) 3; б) -3; в) +3; г) решений нет.
3) 2,2х2=0;
а) 1; б) 0; в) 2,2; г) решений нет.

Какое из уравнений не имеет корней:
х2-7=0;
(у-3)2+5=0;
(х-4)2-36=0;
(n+4)2=0?
Сколько корней имеет уравнение 5х2-4х+1=0?
а) 0; б) 1; в) 2; г) бесконечное множество.
6. Решите уравнение 3х+0,4х2=0.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; 0; б) -7,5 ; 0; в) 7,5 ; 0; г) - 13 EMBED Equation.3 1415; 0.
7. Решите уравнение 2х2-5х-7=0.
а) -0,5; 13 EMBED Equation.3 1415; б) 0,5 ; -13 EMBED Equation.3 1415; в) 1; -3,5; г) -1; 3,5.
8. Решите уравнение (х+4)2=2 (4х+11).
а)13 EMBED Equation.3 1415; -13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415; в) -13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415; г) корней нет.

9. При каких значениях с уравнение 3х2-4х+с=0 имеет единственный корень?
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) -13 EMBED Equation.3 1415; в)13 EMBED Equation.3 1415; г) -13 EMBED Equation.3 1415.
2. При каких значениях а и в корнями уравнения ах2+вх+10=0 являются числа -2 и 5?
а) а=1; в=3; в) а = -1; в = -3;
б) а=1; в = -3; г) а = -1; в=3.
Ключ ответов:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

б
2
в в б
2
а
б
г
в
а
б

II. Подведение итогов.
ТЕМА 4. Решение квадратных уравнений по теореме Виета
Занятие 1,2,3. Решение квадратных уравнений (примеры квадратных уравнений) по сумме коэффициентов, по формуле корней, по теореме ВИЕТА

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Умение рационально решать квадратные уравнения, рационально производить вычисления является одним из критериев математической культуры, т.к. оно требует от ученика не только хорошего знания теоретического материала, но и таких качеств мышления, как наблюдательность, гибкость, критичность. Наша задача как раз и состоит в том, чтобы развивать их.


ТЕМА 5. Решение рациональных, дробно-рациональных и иррациональных уравнений.
Занятия 1, 2. Дробные уравнения.
Цели занятия: - повторить и обобщить материал по данной теме,
- выработать умение учащихся решать дробные уравнения;
- развивать логическое мышление учащихся, учить самоконтролю.
Ход занятий.
I. Актуализация опорных знаний учащихся и рассмотрение теоретического материала.
Пусть требуется решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Одно из этих уравнений целое, другое дробное, однако каждое из них содержит дробь. Поэтому при решении и того, и другого уравнения необходимо воспользоваться одним и тем же известным приемом избавления от дроби.
Для решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 умножим обе части уравнения на число 6 (наименьший общий знаменатель дробей). Получим: 2х2-х-6=0, где х1=2,
х2=-1,5.
Так как при решении уравнения мы каждый раз заменяли одно уравнение другим, ему равносильным, то числа 2 и -1,5 являются корнями исходного уравнения.
Решим второе уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на произведение (х-3)(х-4) (наименьший общий знаменатель дробей). Получим: 2х(х-4) + 6 = х (х-3).
В результате преобразования имеем: х2-5х+6=0 (1).
Квадратное уравнение (1) имеет корни: х1=2, х2=3. Однако при х=3 исходное уравнение не имеет смысла.
Другой корень- число 2 является корнем исходного уравнения. В этом можно убедиться, подставив значение х= 2, в левую и правую часть уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень х = 2.
Необходимо помнить, что при решении дробных уравнений есть возможность появления посторонних корней.

Чтобы решить дробное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить посторонние корни.
II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
№ 1. Решить уравнения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 1213 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 9.
3. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 0,5.
4. 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х1=1,5, х2=0,5.
5. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=-1, х2=-4,7.
6. 1+13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=-2, х2=1.
7. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=0, х2=2.
8. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х=-1.
9. 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х1=-4, х2=7.
10. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=1, х2=7.

№ 2. Решить уравнения, используя подходящую подстановку:

1. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=-2, х2=1.
2. 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=-1, х2=4, х3,4=13 EMBED Equation.3 1415.

III. Текущий контроль (тест):
Решить уравнения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
а) х=-3, б) х=3, в) х1=-3, х2=3, г) х=-2.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
а) х=4, б) х=-4, в) х=5, г) х1,2,=±5.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
а) х=3, б) х=-6, в) х=-3, г) х=6.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
а) х=-0,5, б) х=1, в) х1=-0,5, х2=1,5, г) х1,2,=1,5.
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
а) х=-1, б) х1=0,5, х2=1, в) х=1, г) х1=-0,5, х2=1.

Ключ ответов:
1
2
3
4
5

б
в
г
в
б



IV. Подведение итогов.

Занятие 3. «Иррациональные уравнения».
Цель занятия: - повторить решение иррациональных уравнений;
- закрепить знания и умения по данной теме.
I. Актуализация опорных знаний учащихся, повторение теоретического материала.
Основные способы решения иррационального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415:
использование определения арифметического квадратного корня
13 EMBED Equation.3 1415 <=> 13 EMBED Equation.3 1415 Однако при этом могут появиться посторонние корни, поэтому необходимо делать проверку!
2) использование подходящей подстановки.
II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
Решить уравнения: 1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
III. Работа в группах или парах.
№1. Решить уравнения: 1) 3+13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х=9.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х=-2.
3) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х1,2=±1.
4) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х=4.
5) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х =13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Используя графики функций у =13 EMBED Equation.3 1415 и у = - х2+1, решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х1=0, х2=1.
Подведение итогов.
ТЕМА6. Биквадратные уравнения.
Занятие 1,2. Теоретический материал биквадратные уравнения
1.Многие уравнения приводятся к квадратным с помощью удачной подстановки.
2.Уравнения вида ах4 + вх2 + с = 0, где а
· 0, называют биквадратными уравнениями.
3.Алгоритм решения:
а) Делаем подстановку х2 = у
б) Находим корни у1 и у2 квадратного уравнения ау2 + ву + с =0
в) Решаем уравнения х2 = у1 и х2 = у2
4.Пример:
Решить уравнение:
х4 + 5х2 – 36 = 0.
Пусть х2 = у, тогда получаем у2 + 5у – 36 = 0,
у1 = 4, у2 = - 9.
Решим уравнения х2 = 4 и х2 = - 9
х1 = - 2 нет действительных
х2 = 2 корней
Ответ: х1 = - 2, х2 = 2.
5.Пример:
Решить уравнение:
(2х - 1)4 – 25(2х -1)2 + 144 = 0.
Пусть (2х - 1)2 = t, тогда получаем t2 – 25t + 144 = 0
t1 = 16, t2 = 9.
Решим уравнения (2х - 1)2 = 16 и (2х - 1)2 = 9
х1 = 5/2, х3 = 2,
х2 = - 3/2, х4 = -1.
Ответ. х1 = 5/2, х2 = - 3/2, х3 = 2, х4 = - 1
Практикум биквадратные уравнения
х4 – 10х2 + 9 = 0
х4 – 4х2 – 5 = 0
х4 – 13х2 + 36 = 0
х4 + х2 – 20 = 0
3х4 – 10х2 + 3 = 0
2х4 – 5х2 + 2 = 0
4х4 – 5х2 + 1 = 0
1/2у4 + 11у2 + 270 = 0
9х4 – 37х2 + 4 = 0
х8 – 17х4 + 16 = 0
х6 + 9х3 + 8 = 0
х4 – (а2 + 3)х2 + 3а = 0
х4 – (а3 + 2)х2 + 2а3 = 0
х6 + (а3 - 8)х3 – 8а3 = 0.



Тема 7. Возвратные уравнения
Занятие 1,2. Теоретический материал по возвратные уравнения
Алгебраическое уравнение вида а0 хп + а1 хп-1 + + ап = 0 называют возвратным уравнением, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой.
Возвратное уравнение третьей степени имеет вид ах3 + вх2 +вх + а = 0.
Возвратное уравнение четвертой степени имеет вид
ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0.
Алгоритм решения возвратного уравнения третьей степени:
Группируем первый и последний, второй и третий члены
Раскладываем выражение левой части на множители
Один корень х = - 1
Два других корня находим из решения квадратного уравнения
Алгоритм решения возвратного уравнения четвертой степени:
Так как а
· 0, то х = 0 не является корнем уравнения
Делим обе части уравнения на х2
Вводим новую переменную у = х + 1/х, тогда х2 + 1/х2 = у2 –2
Получаем квадратное уравнение относительно у
Находим корни этого уравнения у1 и у2
Решаем уравнения х + 1/х =у1 и х+ 1/х = у2
Пример: решим уравнение 2х3+7х2+7х+2=0.
2(х3 +1) +7х (х + 1)= (х +1)(2х2+5х+2).
(х +1)(2х2+5х+2)=0,
х+1=0 или 2х2+5х+2=0
х = - 1 х1=-1/2, х2=-2
Ответ. х1=-1, х2=-1/2, х3=-2.
7.Пример: решим уравнение
6х4-35х3+62х2-35х+6=0.
6(х4+1)-35(х3+х)+62х2=0|:х2,
6(х2+1/х2)-35(х+1/х)+62=0,
Пусть х+1/х=у,
Тогда х2+1/х2=у2-2,получаем
6(у2-2)-35у+62=0,
6у2-35у+50=0,
у1=5/2, у2=10/3.


Решив уравнения 2х2-5х+2=0 и
3х2-10х+3=0 находим корни
х1=2, х2=1/2, х3=3, х4=1/3
Ответ: х1=2, х2=1/2, х3=3, х4=1/3.

Практикум по возвратным уравнениям
х3 – 3х2 – 3х + 1 = 0
3х3 – 7х2 – 7х + 3 = 0
х4 + х3 – 4х2 + х + 1 = 0
6х4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 = 0
5х4 – 12х3 + 14х2 – 12х + 5 = 0
х4 + 5х3 + 6х2 + 5х + 1 = 0
3х4 + 2х3 – 10х2 + 2х + 3 = 0
х4 + 2х3 – х2 + 2х + 1 = 0
2х4 – 7х3 + 9х2 – 7х + 2 = 0
х4 + 5х3 + 2х2 + 5х + 1 = 0
2х4 + 3х3 – 4х2 – 3х + 2 = 0
х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0
2х4 + х3 – 11х2 + х + 2 = 0
6х4 + 7х3 – 36х2 – 7х + 6 = 0
78х4 –133х3+78х2 - 133х+78=0






Тема 8. Метод введения новых переменных
ЗАНЯТИЕ 1. Рассматривается метод введения новых переменных, примеры решения новых переменных.

Метод введения новых переменных
Метод введения новых неизвестных полезно применять, когда неизвестная входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).
Пример:
Решить уравнение
(х2 – 2х)2 – (х – 1)2 + 1 = 0.
Пусть у = (х – 1)2, тогда получаем (у – 1)2 – у +1 = 0, выполним преобразование и получим у2 – 3у + 2 = 0
у1 = 1, у2 = 2
Решаем уравнение (х – 1)2 =1 и (х – 1)2 = 2
х1 = 2, х2 = 0 х3, 4 = 1±
·2
Ответ. х1 = 2, х2 = 0 , х3 = 1+
·2, х4 = 1-
·2.
Решить уравнение:
12/(х2 + 2х) – 3/(х2 + 2х – 2) = 1
Пусть у = х2 + 2х, тогда получаем 12/у – 3/(у - 2) = 1,
или (у2 – 11у + 24)/у (у - 2) = 0, значит у1 = 3, у2 = 8.
Решив уравнения х2 + 2х = 3 и х2 + 2х = 8
получаем х1= 1, х2 = - 3, х3 = 2, х4 = - 4.
Ответ: х1= 1, х2 = - 3, х3 = 2, х4 = - 4. ТЕМА 9. Решение систем уравнений.
Занятие 1.
Цели занятия:
- выполнить входную диагностику по теме «Решение систем уравнений»;
- повторить понятия: «система 2х уравнений с двумя неизвестными»,
«решение системы», «решить систему уравнений»;
- повторить разные способы решения систем линейных уравнений.
Ход урока.
Организационный момент.
II. Входной контроль по теме: «Решение систем уравнений».
Вариант I Вариант II
Решить системы уравнений.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 1) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (-2; 5). Ответ: (2; 1).
2) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (2; 1). Ответ: (3; 2).
3) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (2,5; 1), (0,5; 5). Ответ: (3; 0,5), (-1; -1,5).
4) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (0;10), (-3; 1). Ответ: (0; 2), (-2; 6).
5) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (3; -4), (4; -3). Ответ: (-2; -6), (6; 2).
III. Повторение теоретического материала.
Примеры систем двух уравнений с двумя неизвестными:
x+y=10, x-2y=7,
x-y=4; x2-4y2= -35.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару таких чисел (х; у), которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное числовое равенство.
Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Способы решения системы уравнений.
Способ подстановки:
Из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое;
Полученное выражение подставить в другое уравнение системы;
Решить полученное уравнение;
Подставить найденное значение неизвестного в первое выражение и найти второе неизвестное.
Способ алгебраического сложения:
Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
Складывая (или вычитая) полученные уравнения, найти одно неизвестное;
Подставить найденное значение неизвестного в одно из уравнений, найти второе неизвестное.
Графический способ:
Построить графики каждого из уравнений системы;
Найти координаты точек пересечения графиков.
Замечание: учителю на занятии целесообразно уделить внимание и решению симметрических систем и однородных систем.
IV. Тренировочные упражнения.
Решите системы уравнений (разными способами):
x-2y=5, Ответы:
x-3y=6; (3; -1)

2x-3y=11, (1; -3)
5x+y=2;

2x+3y=1, (2; -1)
6x-2y=14;

x+5y-7=0,
x- 3y= -1; (2; 1)

13 EMBED Equation.3 1415 (исп. подстановку u=х+у, v=ху)
13 EMBED Equation.3 1415 (разделить обе части уравнения на у2 и исп. подстановку =t. Однако, возможна потеря корня. Требуется проверка при у=0) .
V. Домашнее задание творческого характера: составить три системы уравнений и решить каждую систему любым способом.

Занятие 2.
Цель занятия: отработка практических навыков решения систем, содержащих уравнения второй степени.
Ход урока.
Организационный момент, проверка домашнего задания.
Повторение.
Формулы сокращённого умножения.
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2= a2-2ab+b2 a2-b2= (a-b) (a+b)
III. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
Способы решения систем уравнений:
1)Способ подбора (необходимо проводить доказательство того, что других решений нет).

x-y=7, Ответы.
xy= -10; (5; -2) и (2; -5)

x+y=2,
xy= -15. (-3; 5) и (5; -3)

2)Способ подбора или сложения, с использованием формул сокращённого умножения.

2xy=5,
2x+y=6; (0,5; 5) и (2,5; 1)


x-y=1,
x2+2y=33; (-7; -8) и (5; 4)

x-y=4,
x2-y2=40; (7; 3)
3)Графический способ решения систем.
xy=8,
x+y=6; (4; 2) и (2; 4)

Самостоятельная работа в парах (с самопроверкой).

X-2y=2, x2-y= -2,
2xy=3; 2x+y=2;
Ответ: (3; 0,5), (-1; -1,5). Ответ: (0; 2), (-2; 6).
Подведение итогов.
Занятие 3.
Цель: отработать навык решения систем уравнений с помощью введения новой
переменной.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Повторение решения систем уравнений с помощью введения новой
переменной.
Решите систему уравнений с помощью введения новых переменных:
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415= U, 13 EMBED Equation.3 1415= V).
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415; Ответ: (2; 3).
Тренировочные упражнения (работа учащихся в группах).



13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415= 4, Ответы:
13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415= 3; (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415313 EMBED Equation.3 1415).

13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415= - 2,
13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 8; (2,5; 0,5).

13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415= 3,
13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = - 3; (5; 8).
Дополнительное задание (решается в классе или дома).

13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415=1,
13 EMBED Equation.3 1415 +13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. (1,4; -0,4).

Подведение итогов.




Занятие 4.
Цель: научиться применять различные способы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными в нестандартных ситуациях.
Ход урока.
I. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.
1). Фронтальная работа со всеми учащимися.

(x-3) (y+2)=0, Ответ:
2x2
·y+5x=0; (3; 33), (-0,5; -2), (-2; -2).
13 EMBED Equation.3 1415=0,
2y2+x2-у=40. (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415).
2). Работа в парах.
(2х-5) (у+2) =0, (2; -2) и (0; -2).
x2+xy+y2=4.
13 EMBED Equation.3 1415=0, (-9,5; 3.25).
x2+4xy+5y=10.
xy=12, (4;3), (3;4).
2x+2y-xy=2.

Подведение итогов.


Занятие 5.
Цель занятия: проверить уровень усвоения темы «Решение систем уравнений».
Ход урока.
Организационный момент.
II. Итоговый контроль по теме: «Решение систем уравнений».
Вариант I Вариант II
№ 1. Решить системы уравнений.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 1) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (3; 2), (2; 3). Ответ: (-1; -3), (3; 1).
2) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (-3; -8), (3;-2). Ответ: (0; 3), (6; -3).
3) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (2; 3). Ответ: (4; -4).
4) 13 EMBED Equation.3 1415. 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (2; 6), (6; 2). Ответ: (3; 1), (-1; -3).

2. Решить графически системы уравнений.
Вариант I Вариант II
1) 13 EMBED Equation.3 1415 1) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (-1; 3). Ответ: (1; 2).
2) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (-1; 1), (1; 1). Ответ: (2; 1).
3) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (4; 2). Ответ: (1; 1).
III. Итоги занятия.
ТЕМА 5. Заключительные занятия.
Занятие 1.
Цель занятия: - итоговый контроль уровня усвоения тем «Решение уравнений»,
«Решение систем уравнений».
Ход урока.
Организационный момент.
II. Итоговый контроль по теме «Решение уравнений и систем уравнений».
Контрольная работа.
№ 1. Решить уравнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415х2-х+2=0. Ответ: х1= 3; х2= 6.
2) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1 = -2; х2= 6.
3) 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х=-7.
4) (х2 + 4х)(х2 + 4х – 17) + 60 = 0. Ответ: х1=-6; х2=-5; х3=1; х4=2.
5) 6х4 – 3х3 + 12х2 – 6х = 0. Ответ: х1=0; х2=0,5.
6) 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: х1=1, х2=7.
№ 2. Решите уравнение графически:
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: х=2.
№ 3. Среди решений системы уравнений найти то, для которого сумма (х+у) максимальна. Найти значение этой суммы:
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 0,25+16=16,25.
Подведение итогов.



Занятие 2.
Цель занятия:
- итоговый тест по теме «Решение уравнений и систем уравнений».
- подведение итогов изучения элективного курса «Уравнения»;
- определение полезности данного элективного курса для учащихся при подготовке к экзамену и при выборе профиля обучения в старшей школе.
Ход урока.
Организационный момент.
II. Итоговый тест по теме «Решение уравнений и систем уравнений».
1). Найти сумму корней (5х – 4)(х+ 8) =0.
А) -9,25; Б) -7,2; В) 9,25; Г) -8,8.
2). Какому интервалу принадлежат корни x4-7x2+12=0.
А) (-
·;-4); Б) [-4; -3]; B) (-3; 3); Г) [3; +
·).
3). Найти корень (или произведение корней) |x-4|=5.
А) -9; Б) -1; В) 9; Г) 5.
4). По графику функции указать корень (или удвоенное произведение корней
уравнения) f(x)=2.

А) -16; Б) 1; В) -1,5; Г) 3.

5). Среди решений системы уравнений найти то, для которого разность (х- у) минимальна. Найти значение этой разности:
13 EMBED Equation.3 1415
А) 2; Б) -40; В) -2; Г) -28.
Ключ ответов:
1
2
3
4
5

Б
В
А
А
Г


III. Проверка теста, подведение итогов.
Анкетирование учащихся.













АНКЕТА.
Имели ли вы представление о содержании данного курса?
Не сожалеете ли вы, что выбрали данный элективный курс?
Испытывали ли вы раньше затруднения:
а) при решении уравнений,
б) при решении систем уравнений,
Оказался ли полезен вам этот курс:
а) преодолеть психологический барьер перед сдачей экзамена по математике,
б) приобрести навыки работы с тестами,
в) оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования?
Оцените уровень своих умений решения различных видов уравнений и систем уравнений после изучения курса:
а) задания не вызывают затруднений;
б) иногда затрудняюсь;
в) слабо ориентируюсь;
г) так ничего и не понял;
д) хотелось бы изучить данный элективный курс еще раз.
7. Что, по-вашему, может способствовать лучшему усвоению курса?
8. Ваши пожелания, рекомендации.
V. Подведение итогов изучения элективного курса «Уравнения»

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 3Equation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий