Презентация по математике «Геометрия масс»


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Геометрия масс Архимед (III в. до н.э ) «…Я счёл нужным написать тебе и…изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем». Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный..Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки, его положение определяется архимедовым правилом рычага (или, как его еще называют, «золотым правилом механики»): произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих, т.е. m1d1= m2d2, где m1, m2 – массы материальных точек, а d1,d2 – соответствующие плечи, т.е. расстояния от материальных точек до центра масс.Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отменить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится. Цель: Изучение и практическое применение барицентрического метода при решении геометрических задач. Задачи: Познакомиться с литературой по истории математики.Изучить литературу по исследуемой проблеме математического характера.Осмыслить свойства центров масс материальных точек.Показать практическое применение и сравнить и сравнить с традиционным методом решения геометрических задач.По итогам работы сделать презентацию. Теорема Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство.1)Пусть АВС- произвольный треугольник, АF, ВT и СD- медианы треугольника. Докажем, что медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. 2)Обозначим буквой О точку пересечения медиан АF и ВT треугольника. 3)Так как отрезок TF – средняя линия треугольника АВС, то TF //АВ, а значит, ﮮ1=ﮮ2 и ﮮ3=ﮮ4. отсюда следует, что треугольник АОВ подобен треугольнику FОТ по двум углам.4)Из подобия треугольников АОВ и FОТ следует, что АО = BO = АВ ОF ТO FT Так как отрезок TF – средняя линия, то АВ = 2:1. FT Таким образом, АО = ВО =2:1. FT ТО Следовательно. Точка О пересечения медиан АF и BT делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.5)Аналогично доказывается, что точка О1 пересечения медиан ВТ и СD делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, а значит, она совпадает с точкой О. Таким образом, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.Теорема доказана. Пусть АВС - данный треугольник; АА1,ВВ1,СС1- его медианы. Загрузим вершины А, В, С равными массами,- скажем, по 1 грамму. Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В, 1С имеет однозначно определенный центр масс Z (свойство 1). В силу свойства 3 положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1С мы перенесем в их центр масс, т.е. (согласно свойству 2) в точку А1. Но тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 2А1 и 1А. Значит, Z є AA1.аналогично убедимся, что Z є ВВ1 и Z є СС1. Таким образом, все три медианы имеют общую точку Z. Кроме того, по правилу рычага (свойство 2) имеем 2ZA1=1ZA или ZA:ZA1=2:1 Методы исследования: Поисковый метод с использованием дополнительной литературы по книге М.В. Балк, В.Г. Болтянский «Геометрия масс» М «Наука», Библиотечка «Квант», выпуск 61, 1987 год , с. 4 −23.Метод проб при доказательстве различными способами.Практический метод обобщения и систематизации, направленный на получении конечного результата.Умение анализировать , систематизировать и обобщать. о Задача №1 :Дано: ∆АВС, Кє АВ, N є AC, CK : KA = 2:3, CN : NB = 4:3, AN ∩ BK=O Найти: ОК ВО Решение: 4 ∙ ВО= 5∙ ОК ОК = 4 ВО 5 Задача №2: Дано:∆ АВС, М є ВС, N є AB,AM ∩ CN=O,AN:NB=2:3,CM:MB=2:1,S∆ABC=5 Найти: SNBMO Решение: S∆АМВ =5 , 3 S∆AON = AO ∙AN = 1∙2 = 1 S∆MAB AM ∙AB 2∙ 5 53 ∙ AO=3 ∙ OM, AO=OM, S∆AON = 1 , 3 SNBMO =5 − 1 = 4 3 3 3 Выводы: При решении геометрических задач барицентрическим методом мы загружаем отдельные точки массами с т.е. сопоставляем, приписываем этим точкам определенные положительные числа. Затем привлекаем свойства центров масс всех полученных м.т. или части этих м.т. Искусство применения барицентрического метода состоит в том, чтобы по условию задачи осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при котором задача легко и красиво решается. Три основных свойства центров масс особенно важны при решении задач: Наличие и единственность центра масс у любой системы материальных точек. Принадлежность центра масс двух материальных точек отрезку, соединяющему эти точки. Возможность перегруппировки материальных точек системы без изменения положения центра масс всей системы. Заключение: Утверждения и теоремы, доказанные в курсе планиметрии, можно доказывать используя барицентрический метод. В работе размещены задачи, которые были предложены при подготовке к Централизованному тестированию и на Централизованном тестировании. Этот материал может быть изложен на спецкурсе по математике и при подготовке к тестированию.

Приложенные файлы

  • ppt 29803020800
    Размер файла: 231 kB Загрузок: 5

Добавить комментарий